傅立叶变换基本性质

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1、2021年7月19日自动化学院408教研室7.3.1狄拉克函数7.3.2周期函数傅立叶变换7.3.3连续时间傅立叶变换的性质7.3狄拉克函数与周期函数傅立叶变换2021年7月19日自动化学院408教研室7.3.1狄拉克函数概念问题质点的密度函数如何表示？思路质点是物体在尺度趋于零时的理想模型；一个位于原点的单位质点，可以看成一个线密度为的物体在宽度趋向零时的极限；极限密度为一般定义2021年7月19日自动化学院408教研室狄拉克函数的应用描述功能位于x=a处质量为m的质点，质量线密度为mδ(x-a)；位于x=a处电量为q的点电荷，电荷线密度为qδ(x-a)；

2、位于t=a时刻强度为I的脉冲信号，信号函数为Iδ(t-a)；分解功能质量密度为ρ(x)的物体，可分解为质点的空间叠加电荷密度为ρ(x)的带电体，可分解为点电荷的空间叠加信号函数为ρ(t)的信号，可分解为脉冲信号的时间叠加2021年7月19日自动化学院408教研室信号分析中常用的函数函数:是一个理想函数，是物理不可实现信号。t1/t1面积恒等于12021年7月19日自动化学院408教研室中包括了所有的频率成分，且所有频率分量的幅度、相位都相同。因此，系统的单位冲激响应才能完全描述一个线性时间系统的特性，才在信号与系统分析中具有如此重要的意义。2021年7

3、月19日自动化学院408教研室特性：（1）乘积性（2）积分性（3）卷积性（4）傅氏变换2021年7月19日自动化学院408教研室101000不同脉冲宽度对频谱的影响可见，信号在时域和频域之间有一种相反的关系。2021年7月19日自动化学院408教研室(称为理想低通滤波器)与矩形脉冲情况对比，可以发现信号在时域和频域之间存在一种对偶关系。1，0，1002021年7月19日自动化学院408教研室对偶关系可表示如下:1010002021年7月19日自动化学院408教研室同时可以看到，信号在时域和频域之间也有一种相反的关系。即信号在时域脉冲越窄，则其频谱主瓣越宽，反

4、之亦然。对该例，我们可以想到，如果，则将趋于一个冲激。若则有因为所以2021年7月19日自动化学院408教研室信号的带宽(BandwidthofSignals):由信号的频谱可以看出：信号的主要能量总是集中于低频分量。另一方面，传输信号的系统都具有自己的频率特性。因而，工程中在传输信号时，没有必要一定要把信号的所有频率分量都有效传输，而只要保证将占据信号能量主要部分的频率分量有效传输即可。为此，需要对信号定义带宽。通常有如下定义带宽的方法:2021年7月19日自动化学院408教研室2.对包络是形状的频谱，通常定义主瓣宽度(即频谱第一个零点内的范围)为信号带宽

5、。下降到最大值的时对应的频率范围,此时带内信号分量占有信号总能量的1/2。1.以矩形脉冲为例，按带宽的定义，可以得出，脉宽乘以带宽等于常数C(脉宽带宽积)。这清楚地反映了频域和时域的相反关系。2021年7月19日自动化学院408教研室7.3.2周期信号的傅立叶变换到此为止，我们对周期信号用傅立叶级数表示，非周期信号用傅立叶变换表示。因为数学描述方法的不一致，在某些情况下,会给我们带来不便。但由于周期信号不满足Dirichlet条件，因而不能直接从定义出发，建立其傅立叶变换表示。所对应的信号考查2021年7月19日自动化学院408教研室这表明周期性复指数信号的

6、频谱是一个冲激。于是当把周期信号表示为傅立叶级数时，因为就有周期信号的傅立叶变换表示若则2021年7月19日自动化学院408教研室这表明：周期信号的傅立叶变换由一系列冲激组成，每一个冲激分别位于信号的各次谐波的频率处，其冲激强度正比于对应的傅立叶级数的系数。例1：2021年7月19日自动化学院408教研室例2：例3：均匀冲激串2021年7月19日自动化学院408教研室0102021年7月19日自动化学院408教研室例4.周期性矩形脉冲012021年7月19日自动化学院408教研室7.3.3连续时间傅立叶变换的性质讨论傅立叶变换的性质，旨在通过这些性质揭示信号

7、时域特性与频域特性之间的关系，同时掌握和运用这些性质可以简化傅立叶变换对的求取。1.线性:则若2021年7月19日自动化学院408教研室2.时移:这表明信号的时移只影响它的相频特性，其相频特性会增加一个线性相移。则若3.共轭对称性:若则2021年7月19日自动化学院408教研室所以即若是实信号，则于是有:由可得2021年7月19日自动化学院408教研室如果即信号是偶函数。则表明：实偶信号的傅立叶变换是偶函数。表明是实函数。若即信号是奇函数，同样可以得出:所以又因为2021年7月19日自动化学院408教研室4.时域微分与积分:(可将微分运算转变为代数运算)(将

8、两边对微分即得该性质)由时域积分特性从也可得到:（时