高考数学总复习之轨迹问题

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1、高三数学总复习辅导材料（第27讲）一、教学进度高考数学总复习之轨迹问题主要学习：求动点的轨迹方程．二、学习指导1.掌握直角坐标系中的曲线与方程的关系和轨迹的概念，能够根据所给条件，选择适当的直角坐标系求曲线的方程并画出方程所表示的曲线．2．“曲线与方程”是解析几何的重要概念．在直角坐标系中，如果曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实解有如下关系：①曲线上的点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．简言之，当组成曲线的点集与方程f(x，y)＝0的解集之间如果能建立起一一对应的关系，则此方程称为曲

2、线的方程，而曲线则是此方程的曲线．3．掌握求轨迹方程的常用方法：直接法、代入法、交轨法和参数法．已知曲线，怎样求出它的方程？这是解几学习中常遇到的一个问题．求曲线方程的过程有五个步骤，我们在具体解题时应注意：①建立直角坐标系时，首先要考虑坐标系的定位问题，图形中的垂直、对称、平行等条件，是定位时必须优先考虑的条件，因为这将有利于后面的计算．②步骤3是解题的关键步骤，目前初学阶段，一般将条件的几何意义直接代数化(即将几何语言“翻译”成代数语言，常见的有：两点间距离公式、夹角公式等等)即可．③如果化简过程是同解变形，则证明也就可以省略了；若不是同解变形，如两边同时平方等，则方程解集可

3、能扩大(或缩小)，则应把因化简引起方程解集扩大(或缩小)的部分舍去(或补上)．三、典型例题例1．过M(1，3)作两条互相垂直的直线l1和l2，l1与x轴交于A点，l2与y轴交于B点，求线段AB中点的轨迹．分析：求动点的轨迹可以通过求动点的轨迹方程来解；也可利用平面几何的知识来处理．例2．已知椭圆的两个焦点分别是F1、F2，△MF1F2的重心G恰为椭圆上的点，求M的轨迹方程．分析：求轨迹方程的根本特点就是求出动点的横坐标x与纵坐标y满足的方程，即根据条件建立的等式关系．本题可以考虑用M的坐标表示重心G的坐标，利用G在椭圆上来解．例3．过圆x2＋y2＝4内一点A(1，0)作圆的弦，求

4、弦的中点M的轨迹方程．分析：可以看出，弦的中点M由弦所在的直线来决定，而弦所在的直线过定点，即直线仅由延伸方向来确定，故M直线的延伸方向来确定，所以，M的坐标可以用直线的斜率来表示；也可以利用弦中点的几何意义指出轨迹的特征．例4．已知点A(－a，0)，B(a，0)（a＞0）．(1)若动点M与A、B是一个直角三角形的三个顶点，求直角顶点M的轨迹方程；(2)若动点M满足条件：∠MBA＝2∠MAB，求点M的轨迹方程．分析：将动点满足的几何条件“坐标化”，即直接将几何条件通过有关定理、公式“翻译”成含有x、y的等式，就得到了轨迹（曲线)的方程．例5．求与y轴相切，并与圆x2＋y2－4x＝

5、0相外切的动圆圆心M的轨迹方程．分析：利用圆的切线、两圆外切的的几何意义，找出两点之间的距离和点到直线之间的距离之间的关系，先确定轨迹的几何特征，再写出轨迹方程．例6．求过点M(1，－1)，离心率为，且以y轴为准线的椭圆的右焦点F的轨迹方程．1-12-2OF1F2P2MP1图27－1xy分析：依题意，y轴为椭圆的左准线，现已知e＝，故由椭圆的定义，有＝e(其中F′为椭圆的左焦点)．因而解本题的关键是寻求椭圆左焦点与右焦点坐标之间的关系．例7．如图27－1，已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1和F2，垂直于椭圆长轴的动直线与椭圆的两个交点分别为P1和P2，其中P1的纵坐标为正数

6、，求直线F1P1与F2P2的交点M的轨迹方程．分析：考虑到P1，P2是椭圆上两个关于x轴对称的点，点M同时在直线F1P1与F2P2上，可利用点M的坐标同时满足直线F1P1，F2P2的方程，消去有关参照量，建立M的轨迹方程．例8．已知平面内两点M(－1，0)，N(1，0)，若动点P满足MP·MN，PM·PN，NM·NP成等差数列，且公差为负数，求点P的轨迹方程．分析：将向量的数量积用P的坐标x，y表示，结合三个数成等差数列的等价条件，建立关于x，y的方程，就是P的轨迹．巩固练习1．已知椭圆的两个焦点分别是F1，F2，P是这个椭圆上的一个动点，延长F1P到Q，使得｜PQ｜＝｜F2P｜

7、，求Q的轨迹．2．动点P到直线x＋4＝0的距离比到定点M(2，0)的距离大2，求点P的轨迹．3．求与两定圆x2＋y2＝1，x2＋y2－8x－33＝0都相切的动圆圆心的轨迹方程．4．已知直线l：y＝k(x－5)及圆C：x2＋y2＝16．(1)若直线l与圆C相切，求k的值；(2)若直线l与圆C交于A、B两点，求当k变动时，弦AB的中点的轨迹．5．已知两直线l1：2x－3y＋2＝0，l2：3x－2y＋3＝0，有一动圆M(圆心和半径都在变动)与l1，l2都相交，并且截l1，l2所得的弦长