《2.2.2 双曲线的简单几何性质 》（人民教育出版社）

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1、人民教育出版社高二年级选修1-1畅言教育《2.2.2双曲线的简单几何性质》◆教材分析从学生的认知水平来看，对渐近线分析方法的理解和掌握有一定的困难．同时渐进线概念如何顺应学生思维的自然呈现，是教法中的一个困惑．因此，将渐近线的呈现与分析设置为本课时的难点。为突破该难点，从“如何画双曲线草图”入手，分析作草图必须的条件，以“双曲线的走向”为切入口，通过复习反比例函数图象，以旧引新，使双曲线的概念自然呈现．并通过学生讨论与交流，充分暴露思维过程，完成分析和证明过程。◆教学目标【知识与能力目标】(1)使学生理解和掌握双曲线的范围、对

2、称性、顶点等性质．(2)理解渐近线的证明方法．(3)理解离心率和双曲线形状间的变化关系【过程与方法目标】培养学生的观察能力、想象能力、数形结合能力和逻辑推理能力，以及类比的学习方法【情感态度价值观目标】用心用情服务教育人民教育出版社高二年级选修1-1畅言教育培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的、变化的观点分析理解事物◆教学重难点◆【教学重点】由方程导出性质及其应用【教学难点】渐近线的理解◆课前准备◆多媒体课件◆教学过程【知识一、双曲线的简单几何性质】【问题导思】类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线－

3、＝1(a＞0，b＞0)的哪些几何性质？【提示】　范围、对称性、顶点、离心率、渐近线．　标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)续表　　标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)性质顶点(－a,0)，(a,0)(0，－a)，(0，a)轴长实轴长＝2a，虚轴长＝2b离心率e＝且e＞1渐近线y＝±xy＝±x用心用情服务教育人民教育出版社高二年级选修1-1畅言教育【问题导思】椭圆中，离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，离心率描述怎样的特征？【提示】　双曲线的离心率描述双曲线“开口”的大小，离心率越大

4、，双曲线的“开口”越大.【知识二、双曲线的相关概念】1.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．2．实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e＝.【课堂互动探究】类型一、由双曲线的方程研究几何性质例1　求双曲线25y2－4x2＋100＝0的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率、渐近线方程．【思路探究】　【自主解答】　双曲线的方程25y2－4x2＋100＝0可化为－＝1.∴实半轴长a＝5，虚半轴长b＝2，顶点坐标为(－5,0)，(5,0)．由c＝＝，焦点坐标为(，0)，(－，0)．离心率e＝＝，渐近线方程y＝±x.【规

5、律方法】1．已知双曲线的方程求其几何性质时，若不是标准形式的先化为标准方程，确定方程中a、b的对应值，利用c2＝a2＋b2得到c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质．2．写渐近线方程时要特别注意焦点在x轴上还是在y轴上，以免写错。变式训练求双曲线16x2－9y2＝－144的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．【解】　把方程16x2－9y2＝－144化为标准方程得－＝1，由此可知，实轴长2a＝8，虚轴长2b＝6，c＝＝5.用心用情服务教育人民教育出版社高二年级选修1-1畅言教育焦点坐标为(0，

6、－5)，(0,5)．离心率e＝＝.顶点坐标为(0，－4)，(0,4)．渐近线方程为：y＝±x.类型二、由双曲线的几何性质求双曲线的方程分别求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)虚轴长为12，离心率为；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x；(3)求与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)．【思路探究】　(1)双曲线的焦点位置确定了吗？如果不确定该怎么办？(2)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线的双曲线有什么特点？如何设出方程？【自主解答】　(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)．由

7、题意知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2，∴b＝6，c＝10，a＝8，∴双曲线标准方程为－＝1或－＝1.(2)当焦点在x轴上时，由＝且a＝3得b＝.∴所求双曲线标准方程为－＝1.当焦点在y轴上时，由＝且a＝3得b＝2.∴所求双曲线标准方程为－＝1.(3)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝k，将点(2，－2)代入得k＝－(－2)2＝－2，用心用情服务教育人民教育出版社高二年级选修1-1畅言教育∴双曲线标准方程为－＝1.【规律方法】1．利用待定系数法求双曲线方程应先“定形”(确定标准方程的形式)，再“定量”(求出

8、a，b的值)．由于双曲线的标准方程有两种形式，因此，根据相关几何特征确定焦点的位置是很重要的，其次，在解题过程中应熟悉a，b，c，e等元素的几何意义及它们之间的联系，并注意方程思想的应用．2．若已知双曲线的渐近线方程为Ax±By＝0，为避免讨论，可设双曲线方程为A2x2－B2