算法分析与设计基础

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1、算法分析与设计基础（清华版）Takenfrom"IntroductiontoTheDesignandAnalysisofAlgorithms"byAnanyLevitin节选自《算法设计与分析基础》潘彦译蛮力法就像宝剑不是撬棍一样，科学也很少使用蛮力。——EdwardLytton(1830-1873)，leila，第二卷，第一章认真做事常常是浪费时间。——RobertByrne，撞球大师，台球选手和作家人们是这样描述它的：蛮力法是一种简单直接地解决问题的方法，常常直接基于问题的描述和所涉及的概念定义。这里的“力”是指计算机的能“力”，而不是人的智“力”。我们也

2、可以用“直接做吧！”来描述蛮力法的策略。而且一般来说，蛮力策略也常常是最容易应用的方法。虽然巧妙和高效的算法很少来自于蛮力法，但我们不应该忽略它作为一种重要的算法设计策略的地位。第一，和其他某些策略不同，我们可以应用蛮力法来解决广阔领域的各种问题（实际上，它可能是惟一一种几乎什么问题都能解决的一般性方法）。具体来说，蛮力法常常用于一些非常基本、但又十分重要的算法，比如计算n个数字的和，求一个列表的最大元素，等等。第二，对于一些重要的问题来说（比如：排序、查找、矩阵乘法和字符串匹配），蛮力法可以产生一些合理的算法，它们多少具备一些实用价值，而且并不限制实例的规模

3、。第三，如果要解决的问题实例不多，而且蛮力法可以用一直能够接受的速度对实例求解，那么，设计一个更高效算法所花费的代价很可能是不值得的。第四，即使效率通常很低，仍然可以用蛮力算法解决一些小规模的问题实例。最后，一个蛮力算法可以为研究或教学目的服务，例如，它可以作为准绳，来衡量同样问题的更高效算法。下列这些著名的算法可以看作是蛮力法的例子：基于定义的矩阵乘法算法；选择排序；顺序查找；简单的字符串匹配算法。穷举查找是解组合问题的一种蛮力方法。它要求生成问题中的每一个组合对象，选出其中满足该问题约束的对象，然后找出一个期望的对象。旅行商问题、背包问题和分配问题是典型的

4、能够用穷举查找算法求解的问题，至少在理论上是这样的。除了相关问题的一些规模非常小的实例，穷举查找法几乎是不实用的。分治法无论人们在祈祷什么，他们总是在祈祷一个奇迹。每一个祈祷都可以简化为：伟大的上帝呀，请让两个二相加不等于四吧。——伊万·屠格涅夫（1818－1883），俄国作家和短篇小说家分治法可能是最著名的通用算法设计技术了。虽然它的名气可能和它那好记的名字有关，但它的确是当之无愧的：很多非常有效的算法实际上是这个通用算法的特殊实现。其实，分治法是按照以下方案工作的：·将问题的实例划分为同一个问题的几个较小的实例，最好拥有同样的规模。·对这些较小的实例求解（

5、一般使用递归方法，但在问题规模足够小的时候，有时也会使用一些其他方法）。·如果必要的话，合并这些较小问题的解，以得到原始问题的解。不是所有的分治算法都一定比简单蛮干更有效。但是，通常我们向算法女神所做的祈祷都被应允了，因而，使用分治法往往比使用其他方法效率更高。实际上，分治法孕育了计算机科学中许多最重要和最有效的算法。虽然我们通常只考虑顺序算法，但要知道，分治法对于并行算法是非常理想的，因为各个子问题都可以由不同的CPU同时计算。许多分治算法的时间效率T(n)满足方程T(n)=aT(n/b)+f(n)。一些应用分治法的案例：合并排序是一种分治排序算法。它把一个

6、输入数组一分为二，并对它们递归排序，然后把这两个排好序的子数组合并为原数组的一个有序排列。在任何情况下，这个算法的时间效率都是Θ(nlogn)，而且它的键值比较次数非常接近理论上的最小值。它的主要缺点是需要相当大的额外存储空间。快速排序是一种分治排序算法，它根据元素值和某些事先确定的元素的比较结果，来对输入元素进行分区。快速排序十分有名，这不仅因为对于随机排列的数组，它是一种较为出众的nlogn效率算法，而且因为它的最差效率是平方级的。折半查找是一种对有序数组进行查找O(logn)效率算法。它是应用分治技术的一个非典型案例，因为在每次迭代中，它只需要解决两个问

7、题的一个。二叉树的经典遍历算法——前序、中序、后序和其他类似的算法都需要递归处理左右两棵子树，它们都可以当作是分治技术的例子。用一些特定的外部顶点来替代给定树的空子树，有助于对这些算法进行分析。有一种处理两个n位整数相乘的分治算法，大约需要做n(index:1.585)次一位数乘法。Strassen算法只需要做7次乘法就能计算出两个2桔方阵的积，但比基于定义的算法要做更多次的加法。利用分治技术，该算法计算两个n阶方阵的积，但比基于定义的算法要做更多次的加法。利用分治技术，该算法计算两个n阶方阵的乘法时需要做n(index:2.807)次乘法。分治技术可以成功地

8、应用于两个重要的计算几何问题：最近对问