《3.2.3 复数的除法》导学案3

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1、《3.2.3复数的除法》导学案3【课标要求】1．掌握复数代数形式的乘法和除法运算．2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．3．理解共轭复数的概念．【核心扫描】1．复数代数形式的乘法和除法的运算．(重点)2．共轭复数的概念及i的幂的周期性．(难点)自学导引1．复数的乘法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.2．复数乘法的运算律对任意z1、z2、z3∈C，有(1)交换律：z1·z2＝z2·z1.(2)结合律：(z1·z2)·z3＝z1

2、·(z2·z3)．(3)乘法对加法的分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.想一想：复数的乘法与多项式的乘法有何不同？提示　复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部，虚部分别合并．3．共轭复数如果两个复数满足实部相等、虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.4．复数的除法法则设z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c＋di≠0且c，d∈R)，则＝＝＋i(c＋di≠0)想一想：z·与

3、z

4、2和

5、

6、2有什么关系？提示　

7、z·＝

8、z

9、2＝

10、

11、2.名师点睛1．复数运算的技巧在复数运算中，除了灵活运用运算法则及各种运算律之外，常用的还有三大技巧．(1)i的周期性：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈Z)，它们在遇到i的高次幂时非常好用．(2)1±i的变形：(1±i)2＝±2i，(1＋i)(1－i)＝2，它们的应用也非常广泛，且很容易与i的周期性连用．(3)注意ω＝－＋i的一些变形：ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0，ω2⇒等的应用．2．对共轭复数及性质的理解(1)共轭复数的注意事项①实数a的共轭复数仍是a本身，即z∈C，z＝⇔z∈R，这

12、是判断一个数是否是实数的一个准则．②共轭复数是复数集中比较重要且具有独特性质的复数，应注意它的几何特征：关于实轴对称；代数特征：虚部互为相反数．(2)共轭复数性质的巧用在解题过程中，若能利用共轭复数的性质对问题进行等价变形、化简，可使复杂问题简单化，达到事半功倍的效果，一般地，共轭复数有如下性质：设z＝a＋bi，其共轭复数为＝a－bi(a，b∈R)，则①

13、z

14、＝

15、

16、(因为

17、z

18、＝

19、a＋bi

20、＝，

21、

22、＝

23、a－bi

24、＝)②z·＝

25、z

26、2∈R(因为z·＝(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝

27、z

28、2)③z＋＝2a为实数；z－＝2bi(b≠0)为

29、纯虚数．④z为实数⇔z＝.⑤z为纯虚数⇔z＋＝0且z≠0.3．复数的除法与实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分化简，得出结论，但复数的除法中分母为复数，一般不能直接约分化简．复数的除法的一般做法是，由于两个共轭复数的积是一个实数，因此，两个复数相除，可以先把它们的商写成分式的形式，然后把分子分母都乘以分母的共轭复数(注意是分母的共轭复数)，并把结果化简即可．也就是说＝＝＝＋i(c＋di≠0)．题型一　复数代数形式的乘除运算【例1】计算：(1)－22；(2)1＋i＋i2＋…＋i100；(3)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(

30、4－3i)．(4)＋－.[思路探索]本题主要考查复数的运算法则以及有关性质．复数的运算顺序与实数的运算顺序相同，都是先进行乘方、开方，再进行乘、除，最后进行加、减．解　(1)原式＝－＝(2＋i)－＝2＋i－i11＝2＋i－i3＝2＋i＋i＝2＋2i.(2)原式＝＝＝1.(3)原式＝2(4－i)(3－i)＋(7－i)(4－3i)＝2(12－3i－4i＋i2)＋(28－4i－21i＋3i2)＝2(11－7i)＋25(1－i)＝47－39i(4)原式＝[(1＋i)2]3·＋[(1－i)2]3·－＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－＝8＋8

31、－16－16i＝－16i(1)复数的乘法可以把i看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．(2)对于复数的运算，除了应用四则运算法则之外，对于一些简单的算式要知道其结果，这样起点就高，计算过程就可以简化，达到快速简捷出错少的效果．比如下列结果，要记住：①＝－i；②＝i；③＝－i；④a＋bi＝i(b－ai)．【变式1】计算下列各题：(1)(＋i)5＋4＋7；(2)12＋8.解　(1)(＋i

32、)5＋4＋7＝－i·()5·[(1＋i)2]2·(1＋i)＋2＋i7＝16(－1＋i)－－i＝－＋(16－1)i.(2)12＋8＝(－i)12·12＋8＝12＋＝4＋(－8＋8i)＝1－8＋8