2006南京市高中数学竞赛集训试卷（三）

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1、镇江二中高中数学竞赛辅导资料千里之行，始于足下。授课人：严鹏镇江二中数学竞赛集训试卷编写人：严鹏2009.3姓名得分一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn。则满足不等式

2、Sn-n-6

3、<的最小整数n是（）A．5B．6C．7D．82．设O是正三棱锥P-ABC底面是三角形ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA、PB的延长线分别交于Q、R，则和式（）A．有最大值而无最小值B．有最小值而无最大值C．既有最大值又有最小值，两者不等D．是一个与面QPS无

4、关的常数3．给定数列{xn}，x1=1，且xn+1=，则=（）A．1B．-1C．2+D．-2+4．已知=(cosπ,sinπ),,，若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积等于（）A．1B．C．2D．5．过椭圆C：上任一点P，作椭圆C的右准线的垂线PH（H为垂足），延长PH到点Q，使

5、HQ

6、=λ

7、PH

8、(λ≥1)。当点P在椭圆C上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．6．在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b≠1)，且，都是方程logx=logb(4x-4)的根，则△ABC（）A．

9、是等腰三角形，但不是直角三角形B．是直角三角形，但不是等腰三角形C．是等腰直角三角形D．不是等腰三角形，也不是直角三角形二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，则

10、x

11、-

12、y

13、的最小值是_________.8．如果：（1）a,b,c,d都属于{1,2,3,4}（2）a≠b,b≠c,c≠d,d≠a（3）a是a,b,c,d中的最小数镇江二中高中数学竞赛辅导资料千里之行，始于足下。授课人：严鹏那么，可以组成的不同的四位数abcd的个数是________.9．设n是正整数，集合M={1，2，

14、…，2n}．求最小的正整数k，使得对于M的任何一个k元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于10．若对

15、x

16、≤1的一切x，t+1>(t2-4)x恒成立，则t的取值范围是_______________.11．我们注意到6!=8×9×10，试求能使n!表示成(n-3)个连续自然三数之积的最大正整数n为__________.12．对每一实数对(x,y)，函数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若f(-2)=-2，试求满足f(a)=a的所有整数a=__________.三、解答题（每小题20分，共60分）13．已知a

17、,b,c∈R+，且满足≥(a+b)2+(a+b+4c)2，求k的最小值。14．已知半径为1的定圆⊙P的圆心P到定直线的距离为2，Q是上一动点，⊙Q与⊙P相外切，⊙Q交于M、N两点，对于任意直径MN，平面上恒有一定点A，使得∠MAN为定值。求∠MAN的度数。15．已知a>0，函数f(x)=ax-bx2,（1）当b>0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1，证明：a≤2；（2）当b>1时，证明：对任意x∈[0,1],

18、f(x)

19、≤1的充要条件是：b-1≤a≤2；（3）当0

20、f(x)

21、≤1的充要条件。附加题

22、一、如图，已知△ABC的外角∠EAC的平分线与△ABC的外接圆交于点D，以CD为直径的圆分别交BC，CA于点P、Q，求证：线段PQ平分△ABC的周长。EADCPQB二、（50分）求所有实多项式f和g，使得对所有x∈R，有：(x2+x+1)f(x2-x+1)=(x2-x+1)g(x2+x+1)。三、有n支球队参加足球联赛，每支球队与其他球队只比赛一场，规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，联赛结束后，有一些球队可能会被取消比赛资格，因此我们的比赛结果也会被取消，剩下的球队将重新计算成绩，积分多的球队将会成为这次联赛的冠军（如果只有

23、一支球队没取消比赛资格，则他就是冠军）。设fi(T)(I=1,2,…n)是在这次联赛T中使得第i支球队获得冠军，而被取消比赛资格的球队数目的最小值，又设F(T)=f1(T)+f2(T)+…+fn(T)，对于n≥5。求F(T)的最大值和最小值。镇江二中高中数学竞赛辅导资料千里之行，始于足下。授课人：严鹏镇江二中数学竞赛集训试卷答案一、选择题1．由递推式得：3(an+1-1)=-(an-1)，则{an-1}是以8为首项，公比为-的等比数列，∴Sn-n=(a1-1)+(a2-1)+…+(an-1)==6-6×(-)n，∴

24、Sn-n-6

25、=6×

26、()n<，得：3n-1>250，∴满足条件的最小整数n=7，故选C。2．设正三棱锥P-ABC中，各侧棱两两夹角为α，PC与面PAB所成角为β，则vS-PQR=S△PQR·h=PQ·PRsinα)·PS·si