2006浙江高中数学竞赛试题

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1、2006年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷一、选择题1、下列三数的大小关系正确的是　（）A、　B、　C、　D、2、已知两点A（1,2），B（3,1）到直线L距离分别是，，则满足条件的直线L共有（）A、1条B、2条C、3条D、4条3、设为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如。记，，，则（）A、20B、4C、42D、1454、设在平面上，，所围成图形的面积为，则集合的交集所表示的图形面积为（）A、B、C、D、5、在正2006边形中，与所有边均不平行的对角线的条数为（）。A、2006B、C、D、6、函数在时的最小值为（）。A、2B、4C、6D、8二、填空题7、

2、手表的表面在一平面上。整点这12个数字等间隔地分布在半径为的圆周上。从整点到整点的向量记作，则＝。8、设且，则对任意。-9-9、在中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是。10、设是非零实数，，若，则。11、已知，。若为单元素集，则。12、。三、解答题13、在轴同侧的两个圆：动圆和圆外切，且动圆与轴相切，求（1）动圆的圆心轨迹方程；（2）若直线与曲线有且仅有一个公共点，求之值。14、已知数列满足，满足，，证明：。15、六个面分别写上1，2，3，4，5，6的正方体叫做骰子。问1）共有多少种不同的骰子；2）骰子相邻两个面上数字之差的绝对值叫做这两个面之间的变差，变差的总

3、和叫做全变差。在所有的骰子中，求的最大值和最小值。-9-2006年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷评分标准一.选择题1.C2.C3.D4.B5.C6.B二.填空题7.8.n9.10.11.12.详细解答如下：一.选择题1.下列三数的大小关系正确的是（C）（A）（B）（C）（D）解：因为，。令，则。又因为，所以。再令，则，而，所以。综上所述，有。因此选（C）。2.已知两点A(1,2),B(3,1)到直线L的距离分别是，则满足条件的直线L共有（C）条。（A）1（B）2（C）3（D）4解:由分别以A，B为圆心，，为半径作两个圆，则两圆外切，有三条共切线。正确答案为C。3.设

4、为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如。记，，则＝（D）-9-(A)20(B)4(C)42(D)145.解：将记做，于是有从16开始，是周期为8的周期数列。故正确答案为D。4.设在平面上，，所围成图形的面积为，则集合的交集所表示的图形面积为（B）。(A)(B)(C)(B).解：在xOy平面上的图形关于x轴与y轴均对称，由此的图形面积只要算出在第一象限的图形面积乘以4即得。为此，只要考虑在第一象限的面积就可以了。由题意可得，的图形在第一象限的面积为A＝。因此的图形面积为。所以选（B）。5.在正2006边形中，与所有边均不平行的对角线的条数为（C）。(A)20

5、06(B)(C)(D).解：正2n边形，对角线共有条。计算与一边平行的对角线条数，因，与平行的对角线的端点只能取自2n-4个点，平行线共n-2条。故与某一边平行的对角线共n(n-2)条。由此可得与任何边都不平行的对角线共有n(2n-3)-n(n-2)=n(n-1)条。因此正确选项是C。6.函数在时的最小值为（B）。(A)2(B)4(C)6(D)8解：（由调和平均值不等式）-9-要使上式等号成立，当且仅当（1）－（2）得到，即得。因为，所以当时，。所以因此应选（B）。二.填空题7.手表的表面在一平面上。整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为的圆周上。从整点i

6、到整点（i＋1）的向量记作，则＝。解：连接相邻刻度的线段构成半径为的圆内接正12边形。相邻两个边向量的夹角即为正12边形外角，为30度。各边向量的长为。则。共有12个相等项。所以求得数量积之和为。8.设且则对任意，n。解：，-9-所以，9在中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是。解：三个数成递增等差数列，设为，按题意必须满足。对于给定的d，a可以取1，2，……，2006-2d。故三数成递增等差数列的个数为三数成递增等差数列的概率为。10.设是非零实数，，若则。解：已知………………（1）将（1）改写成。而。所以有。即,也即将该值记为C。则由（1）知，。于是有，.而。

7、11.已知,。若为单元素集，则。-9-解由为单元素集，即直线与相切，则.12.=。解：设，则，,，即有，，。所以有.于是可得，且当时，.因此.解答题13.在轴同侧的两个圆：动圆和圆外切（），且动圆与轴相切，求（1）动圆的圆心轨迹方程L;（2）若直线与曲线L有且仅有一个公共点，求之值。解：（1）由可得由N，以及两圆在轴同侧，可知动圆圆心在轴上方，设动圆圆心坐标为,则有整理得到动圆圆心轨迹方程。……………………（5分）-9-另解由已知可得，动圆圆心的轨迹是以为焦点，为准线，且顶点在点（不包含该点）的抛物线，得轨迹方程，即…………………（5分）