李群方法及应用.doc

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1、第9讲李群方法及其应用19世纪，S.Lie为了研究微分方程，提出了被后人称之为李群理论。由于李群理论相对比较抽象，因此在20世纪70年代以前，这一理论没有被广泛应用。直到1974年Bluman,Cole写了一本直观易懂的著作[1]，李群理论逐渐广泛地用于研究和求解非线性偏微分方程（非线性发展方程）。应用李群求解非线性偏微分方程的基本思想是，通过构造群不变量作为函数变换的基础，使偏微分方程（减少一个自变量）得到化简或求解。除必要的概念和结论外，我们仍先不涉及过多的李群内容，把重点放在应用李群如何求解方程上。一、基本概念及结论1群的定义定义1设是一个集合，规定元素的运算（以后常省略此符号），若（1

2、）封闭性：对，有。且满足结合律。（2）单位元：存在单位元，使。（3）逆元：，，使。称对运算构成一个群。例如按照加法运算构成实数加群。2单参数李群在实际应用中，常用到一类特殊的李群-——单参数李群。定义2设是由函数变换组成的集合，确定了到的函数变换，即（1）且关于按加法运算构成实数加群。也就是（1）时是的单位元（恒同变换）；（2）时是的逆元（逆变换）；（3）两个变换的“乘积”仍是中的元素（封闭性），若有，则有，称为单参数变换群（或李点变换群，简称为李群），其中是的光滑函数，且它们都是关于的解析函数。注1由（1）决定的变换通常称为李群的整体形式变换。注2把（1）在附近展为泰勒展式，，（2），称（2

3、）为李群的无穷小表达形式，称函数分别为的无穷小元。由它们决定的切空间中的向量场（3）称为的生成元。定理1设向量场由（3）给出，则由生成的（局部）单参数群是下述初始问题的解（4）我们不在此证明定理，证明可参考[2，3]。上述定理表明，如果知道了向量场（3）（即函数已知），那么变换群也就确定出来。因此在李群的理论应用中，人们通常关心的是的生成元。一、李群的应用理论1不变群条件下面我们以一个二阶非线性方程为例，说明不变群的有关性质。给定一个微分方程，（5）其中是已知函数。方程（5）在李群变换（1）下不变是指，（6）此时也称是方程（5）的不变群（对称群）。在附近，利用方程（5）和（6），有其中，（8）

4、这里分别称为的无穷小元。因此要使（5）在下不变当且仅当.（9）定理2在变换（1）下，是（5）的不变群的充要条件是（9）成立。注3通过（9）可计算的无穷小元，即由此确定的生成元。2无穷小元的计算公式李群的基本出发点是从研究代数方程开始的，对代数方程，（10）由群的不变性，相应的（9）式为.（11）定义3给定一个函数，如果，称是由向量场生成的单参数群的一个不变量。从另一个角度来看，如果我们把一个偏微分方程（5）的左端看成定义在自变量空间上的函数，则可把（5）也视为是一代数方程。因此这就需要把原定义域延拓到射流空间，相应的向量场也要延拓到相应的射流空间上，记的二阶延拓（prolongation）为，

5、即,这样（9）式可记为，（9）理论上已经证明，利用（9）计算出的（即）生成的单参数群仍是不变群。李群理论表明，如果能够找出的足够多的不变量，则以这些（独立的）不变量作为新自变量，可把原方程化简为等价的关于新自变量的方程，且新方程的自变量个数要比原方程的少，从而达到约化或求解的目的。为了求解方程（9），我们不加证明的给出下述无穷小元的计算公式。定理3在（9）式中，有，，，，，其中表示关于的全微分算子。如遇到高阶延拓，可同样推理给出计算公式。如.一、应用我们将通过具体例子说明李群方法的应用。例对于KdV方程，有，求其解。解1先求无穷小元设单参数群的生成元为，由于方程中出现未知函数的三阶导数项，因此

6、的三阶延拓为利用定理2中的（9）式有，即，注意此时都是独立变量，且方程中不显含，上式即为，（10）利用定理3中的计算公式有，通过观察知道，在中，和的系数应等于零，得到，并且，（11）因为（10）是在下成立，即应把代入（11）消去。注意到中的与中的相应项抵消，则由的系数为零得到，其中是任意积分函数。再考虑到（11）中包含的项（仅在中），可推出，并且此时（11）式变为，（12）令上式中的系数为零，便有，由前两个方程导出.再由第三个方程得，而，因此。利用上式中的最后一个方程有。综上所述得到，从此有其中为任意积分常数。所以我们得到的无穷小元为.(13)2方程的约化或求解我们已经求出了KdV方程的群生成

7、元，其中分别由（13）确定。下面我们对方程进行求解和约化，这些步骤和利用对称方法求解是相同的。由定义3，若函数满足，则是群的不变量。现在通过选择不同的求不变量，并通过不变量得到KdV方程的解。(1)此时，由，相应的特征方程组为，因此是群不变量，其中是任意常数（其实如果函数是不变量，那么它的任意函数也一定是不变量）。因此做变换可把KdV方程约化为的常微分方程，此方程的解（如椭圆函数和双曲函数表达的解