离散数学第4章关系

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1、第4章关系1第4章关系4.1关系的定义及其表示4.2关系运算4.3关系的性质4.4等价关系与偏序关系24.1关系的定义及其表示4.1.1有序对与笛卡儿积4.1.2二元关系的定义4.1.3二元关系的表示3定义4.1由两个元素，如x和y，按照一定的顺序组成的二元组称为有序对，记作实例：点的直角坐标(3,4)有序对的性质有序性（当xy时）与相等的充分必要条件是=x=uy=v例1<2,x+5>=<3y4,y>，求x,y.解3y4=2,x+5=yy=2,x=3有序对4笛卡儿积定

2、义4.2设A,B为集合，A与B的笛卡儿积记作AB，AB={

3、xAyB}.例2A={0,1},B={a,b,c}AB={<0,a>,<0,b>,<0,c>,<1,a>,<1,b>,<1,c>}BA={,,,,,}A={},B=P(A)A={<,>,<{},>}P(A)B=5【例】设A=a,b，B=1,2,3，⑴试求A×B和B×A⑵验证

4、A×B

5、=

6、A

7、

8、B

9、和

10、B×A

11、=

12、B

13、

14、A

15、解：⑴A×B=a,1,a,2,a,3,b,1,

16、b,2,b,3B×A=1,a,1,b,2,a,2,b,3,a,3,b⑵

17、A×B

18、=6=2×3=

19、A

20、

21、B

22、

23、B×A

24、=6=3×2=

25、B

26、

27、A

28、6笛卡儿积的性质对于并或交运算满足分配律A(BC)=(AB)(AC)(BC)A=(BA)(CA)A(BC)=(AB)(AC)(BC)A=(BA)(CA)幻灯片9若A或B中有一个为空集，则AB就是空集.A=B=不适合交换律ABBA(AB,A,B)幻灯片6不适合结合律(AB)CA(BC)(A,B,C

29、)幻灯片8若

30、A

31、=m,

32、B

33、=n,则

34、AB

35、=mn幻灯片67解：A×B×C=(A×B)×C=1,a,1,b,2,a,2,b×x,y=1,a,x,1,b,x,2,a,x,2,b,x,1,a,y,1,b,y,2,a,y,2,b,yA×(B×C)=1,2×a,x,a,y,b,x,b,y=1,a,x,1,a,y,1,b,x,1,b,y2,a,x,2,a,y,2,b,x,2,b,y

36、显然A×B×C≠A×(B×C)。【例】设A=1,2，B=a,b，A=x,y，求：A×B×C，A×(B×C)。8证明：仅证明⑴任取a,ba,bA×(B∪C)aA∧bB∪CaA∧(bB∨bC)(aA∧bB)∨(aA∧bC)a,bA×B∨a,bA×Ca,b(A×B)∪(A×C)故A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)可类似地证明⑵、⑶、⑷。⑴A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)9有序n元组和n阶笛卡尔积定义4.3(1)由n个元素x1,x2,…,xn按照一定的顺序排列构成有序n元组，记作

37、(2)设A1,A2,…,An为集合，称A1A2…An={

38、xiAi,i=1,2,…,n}为n阶笛卡儿积.实例(1,1,0)为空间直角坐标，(1,1,0)RRR10二元关系的定义定义4.4如果一个集合满足以下条件之一：（1）集合非空,且它的元素都是有序对（2）集合是空集则称该集合为一个二元关系,简称为关系，记作R.如∈R,可记作xRy；如果R,则记作xy实例：R={<1,2>,},S={<1,2>,a,b}.R是二元关系,当a,b不是有序对时，S不是二元关系根据上

39、面的记法，可以写1R2,aRb,ac等.11实例例3(1)R={

40、x,yN,x+y<3}={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<1,0>,<1,1>,<2,0>}(2)C={

41、x,yR,x2+y2=1}，其中R代表实数集合，C是直角坐标平面上点的横、纵坐标之间的关系，C中的所有的点恰好构成坐标平面上的单位圆.(3)R={

42、x,y,zR,x+2y+z=3}，R代表了空间直角坐标系中的一个平面.125元关系的实例—数据库实体模型员工号姓名年龄性别工资301302303304…张林王晓云李鹏宇赵辉…50434721…男

43、女男男…160012501500900…5元组：<301,张林,50,男,160