什么是排队网络

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1、什么是排队网络排队网络包含一组节点，每个节点有若干服务器。单个节点可以被视为一个排队系统。客户可以在从任何节点进入排队网络。当客户在某个节点排队获得服务以后，它们可以离开网络，也可以去另外的节点，甚至回到原来的节点。1一个排队网络有k个节点，节点i（i=1,2,…,k）上有ci个服务器，服务器服务单个客户的时间服从指数分布，平均为1/μi。单个节点可以被视为一个M/M/c/∞排队系统客户到达是泊松过程，以速率γi到达节点i当一个客户在节点i的服务器上完成服务，它以概率rij进入节点j；以概率ri0离开排队网络满足以上3

2、条被称为Jackson网络对任意i，若γi=0，ri0=0，被称为闭合Jackson网络（没有客户进入和离开）否则被称为开放Jackson网络2闭合Jackson网络例子：修理工模型，存在两个节点，正常工作和故障修理。i=1,2j=0,1,2r12=r21=1并且其余rij=0。开放Jackson网络，如果满足则这个排队网络被称为串联(Series)。客户从第一个节点进入网络客户依次经历节点1，2，3，...，直到离开网络3串联（Series）排队网络例子：医院看病：挂号、诊断开药、划价、缴费、拿药每个节点可以被视为一

3、个M/M/c/∞，前一个节点的输出是下一个节点的输入4客户到达节点1服从泊松过程，速率为λ。节点i有ci个服务器，是一个M/M/ci排队系统。问题：客户从节点离开是怎样一个随机过程？离开时间间隔服从何种分布?结论：稳态下排队网络节点的离开过程=到达过程。离开时间间隔服从指数分布。直观解释：“时间倒流”，客户到达和客户离开互换，得到一个完全一样的稳态下的排队网络（队列长度，等待时间等指标均一样）。5理论证明系统中有N(t)=n个客户的概率T表示客户离开事件的时间间隔（类比于到达时间间隔）系统中有n个客户，且距离上次客户离

4、开超过t的概率离开时间间隔分布6考虑在时间t+Δt有n个客户的概率令Δt→∞，有边界条件7求解微分方程，得到8离开时间间隔服从指数分布例子：超市某超市改进了结帐系统。当所有结帐柜台忙时，顾客获得一个号码并等待，当一个结帐柜台空闲，最小号码的顾客去柜台结帐。超市很大，可以容纳很多顾客。顾客到达超市服从泊松过程，平均每小时到达40位；每位顾客购物平均花费3/4小时，购物时间服从指数分布。每位顾客结帐平均需4分钟，结帐时间也服从指数分布。问：超市至少需要多少个结帐柜台？如果设置比最少要求多一个的结帐柜台，求顾客的平均等待结帐

5、时间，平均有多少顾客等待结帐，多少顾客在超市的逗留。9两个节点的串联排队网络。节点1：购物，M/M/∞/∞，λ=40，μ1=4/3节点2：结帐，M/M/c/∞，λ=40，μ2=15问题1：ρ2=λ/cμ2<1c≥2.67，至少应该有3个柜台问题2：如果有4个柜台，M/M/4/∞，1011阻塞的串联排队网络考虑具有两个节点的串联，每个节点只有1个服务器：如果节点2服务器繁忙，从节点1完成服务的客户滞留在节点1，当节点2服务器空闲时客户再进入如果节点1服务器不空闲，到达串联网络的客户离开客户只能从节点1进入，节点2离开客

6、户在节点1有两种状态，获得服务和滞留12用(n1,n2)表示排队网络的状态客户到达速率λ，节点1的服务速率μ1，节点2的服务速率μ2用pn1,n2表示在状态(n1,n2)的概率13n1,n20,0系统空1,0客户在节点1接受服务0,1客户在节点2接受服务1,1两个客户分别在节点1和2接受服务b,1一个客户在节点2接受服务，同时有一个客户滞留在节点1等待进入节点2状态转移方程同时有，可以解状态方程如果μ1=μ2，则有14对于带阻塞且不容许排队的情况，我们给出了节点数为2时的稳态方程并求解。如果节点个数增大，方法相同。Hu

7、nt在1956年考虑了另外一种串联排队模型：节点间不容许等待，一个客户在i-1个节点完成服务，如果不能进入第i个节点，立即离开。第一个节点有无穷大的队列空间。15开放Jackson排队网络网络有k个节点（服务设施）；节点i(i=1,2,...,k)上有ci个服务器，每个服务器服务时间平均1/μi，服从指数分布；客户以速率γi到达节点i；当客户完成在节点i的服务，以概率rij进入节点j，以概率ri0离开排队网络；节点的队列容量无穷大16开放Jackson网络求解假设每个节点只有一个服务器，ci=1令Ni表示在节点i上的客

8、户个数（排队等待+被服务）令需要得到所有状态的概率17状态记号状态概率方程对于节点i，客户到达的速率为矩阵形式定义ρi=λi/μi在1957年和1963年，Jackson证明18如果假设每个节点是一个M/M/1，节点i的客户到达速率为λi，平均服务时间为1/μi，则M/M/1中有n个客户的概率为可以看出，开放Jackson网络的解