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1、第6节线性规划的应用举例1一般讲，一个经济、管理问题凡满足以下条件时，才能建立线性规划的模型。(1)要求解问题的目标函数能用数值指标来表示，且Z=f(x)为线性函数；(2)存在着多种方案；(3)要求达到的目标是在可以量化的，并要有足够数据的一定约束条件下实现的；这些约束条件可用线性等式或不等式来描述。下面举例说明线性规划在经济管理等方面的应用。2例10合理利用线材问题。现要做100套钢架，每套需用长为2.9m，2.1m和1.5m的元钢各一根。已知原料长7.4m，问应如何下料，使用的原材料最省。解最简单做法是，在每一根原材料上截取2.9m，2.1m和1.5m的元钢各一根组成一套，每根原
2、材料剩下料头0.9m（7.4-2.9-2.1-1.5=0.9)。为了做100套钢架，需用原材料100根，共有90m料头。若改为用套裁，这可以节约原材料。下面有几种套裁方案，都可以考虑采用。见表1-11。3表1-11套裁方案本题还有其它方案，但由于料头太多，不再考虑。4为了得到100套钢架，需要混合使用各种下料方案。设按Ⅰ方案下料的原材料根数为x1,Ⅱ方案为x2，Ⅲ方案为x3，Ⅳ方案为x4,Ⅴ方案为x5。根据表1-11的方案，可列出以下数学模型：5在以上约束条件中加入人工变量x6,x7,x8；然后用表1-12进行计算。67例1-11的最终计算表（第3次计算）有非基变量的检验数为零，所以
3、存在多重最优解。8由计算得到最优下料方案是：按Ⅰ方案下料30根；Ⅱ方案下料10根；Ⅳ方案下料50根。即需90根原材料可以制造100套钢架。9例11配料问题某工厂要用三种原材料C、P、H混合调配出三种不同规格的产品A、B、D。已知产品的规格要求，产品单价，每天能供应的原材料数量及原材料单价，分别见表1-13和表1-14。该厂应如何安排生产，使利润收入为最大?10表1-13产品的规格要求表1-14原材料供应数量限额11这里AC+AP+AH=A；BC+BP+BH=B(1-40)将(1-40)逐个代入(1-39)并整理得到解如以AC表示产品A中C的成分，AP表示产品A中P的成分，依次类推。见
4、表1-13有：12AC+BC+DC≤100AP+BP+DP≤100AH+BH+DH≤60在约束条件中共有9个变量，为计算和叙述方便，分别用x1,…,x9表示。令x1=Ac,x2=Ap,x3=AH,x4=BC,x5=BP,x6=BH,x7=DC,x8=DP,x9=DH.表1-14表明这些原材料供应数量的限额。加入到产品A、B、D的原材料C总量每天不超过100kg，P的总量不超过100kg，H总量不超过60kg。由此1314目标函数目的是使利润最大，即产品价格减去原材料的价格为最大。产品销售额为：50(x1+x2+x3)——产品A35(x4+x5+x6)——产品B25(x7+x8+x9)
5、——产品D原材料费用为：65(x1+x4+x7)——原材料C25(x2+x5+x8)——原材料P35(x3+x6+x9)——原材料H利润=销售额-原材料费用和15为了得到初始解，在约束条件中加入松弛变量x10～x16，得到数学模型：16最优解：这数学模型，可用单纯形法计算，经过四次迭代，获得最优解为：x1=100,x2=50,x3=50；这表示需要用原料C为100kg；P为50kg;H为50kg，构成产品A。即每天只生产产品A为200kg，分别需要用原料C为100kg；P为50kg;H为50kg。从最终计算表中得到，总利润是z=500元/天。17例12生产与库存的优化安排某工厂生产五
6、种产品(i=1,…,5)，上半年各月对每种产品的最大市场需求量为dij(i=1,…,5;j=1,…,6)。已知每件产品的单件售价为Si元，生产每件产品所需要工时为ai，单件成本为Ci元；该工厂上半年各月正常生产工时为rj(j=1,…,6)，各月内允许的最大加班工时为rj′;Ci′为加班单件成本。又每月生产的各种产品如当月销售不完，可以库存。库存费用为Hi(元/件·月)。假设1月初所有产品的库存为零，要求6月底各产品库存量分别为ki件。现要求为该工厂制定一个生产计划，在尽可能利用生产能力的条件下，获取最大利润。18解设xij,xij′分别为该工厂第i种产品的第j个月在正常时间和加班时间
7、内的生产量；yij为i种产品在第j月的销售量，ωij为第i种产品第j月末的库存量。根据题意，可用以下模型描述19线性规划模型(1)各种产品每月的生产量不能超过允许的生产能力，表示为：20(2)各种产品每月销售量不超过市场最大需求量yij≤dij(i=1,…,5;j=1,…,6)(3)每月末库存量等于上月末库存量加上该月产量减掉当月的销售量21(4)满足各变量的非负约束xij≥0,xij′≥0,yij≥0,(i=1,…,5；骏=1,…,6)ωij≥0(i=1
