华理材料力学Chapter10

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1、第十章能量方法能量方法概述能量方法概述可变形固体在受外力作用而变形时，外力和内力都将作功外力所作的功称之为外力功由于内力所作的功储存在物体内部，称之为物体的应变能（变形能）对于弹性体，由于变形过程中没有能量耗散，外力在相应的位移上所作的功，等于弹性体内部所储存的应变能弹性体的应变能是可逆的，即当外力逐渐撤出时，弹性体内部的应变能将全部转换为其它形式的能量能量方法概述利用功和能转换的概念求解可变形固体的位移、内力和变形等的方法，统称为能量方法能量方法不仅适用于线性弹性体，而且也适用于非线性弹性体能

2、量方法具有广泛的应用，同时它又是有限元方法的重要基础之一应变能•余能应变能•余能应变能杆件轴向拉伸（压缩）时的应变能在弹性变形范围内，应变能为注：应变能U是伸长量l1或位移的函数应变能•余能这时应变能可写为对于线弹性问题，这时外力P与伸长量l之间的关系为线性关系由胡克定律得：线弹性问题：材料为线弹性，且几何关系也为线性的。应变能•余能应变能密度（比能）：变形物体单位体积所储存的应变能在弹性变形范围内，应变能密度（比能）为：对于线弹性问题，这时应力与应变之间的关系为线性关系注：应变比能u是

3、应变1的函数应变能•余能这时应变能比能可写为：由胡克定律得：由应变能和应变能比能的定义，可知它们之间有如下关系：应变能•余能对于线弹性问题，对于直杆的轴向拉伸（压缩），由于横截面上的应力是均匀的，因此有应变能的定义或上述公式同样对微元体也是成立的，如对于线弹性问题有应变能•余能圆直杆扭转时的应变能mld此时，与杆件轴向拉伸（压缩）的情况类似，只需将外力P与伸长量l之间的关系以及应力与应变之间的关系换成外力矩（扭矩）m与横截面的扭转角之间的关系以及剪应力与剪应变之间的关系即可在弹性变

4、形范围内，应变能和应变比能分别为：应变能•余能对于线弹性问题，应变能为：应变能比能为：由应变能和应变能比能的定义，可知它们之间有如下关系：应变能•余能对于线弹性问题，对于圆直杆的扭转，按照横截面上的剪应力公式，因此有应变能的定义或上述公式同样对微元体也是成立的，如对于线弹性问题有应变能•余能直梁弯曲问题的应变能下面以简支直梁的纯弯曲为例（如图所示），与前两种情况类似，此时，外力矩（弯矩）为M；梁的弯曲称图为横截面的转角。对于线弹性问题，按照直梁的弯曲理论，这时外力矩（弯矩）M与横截面的转角之

5、间的关系为线性关系应变能•余能对于线弹性问题，应变能为：应变能比能为：应变能的定义或上述公式同样对微元体也是成立的，如对于线弹性问题，按照直梁的弯曲理论有应变能•余能对于杆件的基本变形情况，对于线弹性问题，已分别得到了它们的应变能与外力的关系，从中可以看出共同的一个特点。可以将轴力N，扭矩m和弯矩M看作广义力，而轴向伸长量l，横截面的扭转角和转角看作广义位移。应变能的一般表示形式注：P为广义力，为广义位移杆件的应变能可写成统一的形式：应变能•余能在计算外力所作得功时还应注意它们的位置和方

6、向，即应理解广义力和广义位移的含义广义力广义位移力线位移力偶转角上述结论也适用于对杆件或变形体同时受多个广义力的情况对于线弹性问题，且载荷为静载情况应变能•余能若杆件或变形体同时受广义力P1,P2,……,Pn的作用，其相应的广义位移（无刚体位移）分别为1,2,……,n，则应变能可写成如下形式：上述公式可应用到杆件的组合变形中（微元体或整个杆件上）应变能•余能互等定理考虑图示结构，广义力为P1,P2，其相应的广义位移分别为1,2。应变能为对于线弹性问题，利用应变能的概念，现推导功的互等定

7、理和位移互等定理。应变能•余能现将原问题分为两步叠加而成第一步：仅有广义力P1作用，其相应于原广义力P1和P2作用位置的广义位移分别为11,21。广义位移ij表示在广义力Pj单独作用下引起在广义力Pi的作用处且在广义力Pi方向上的广义位移。第二步：在广义力P1作用后，再加载广义力P2，此时它引起原广义力P1和P2作用位置的广义位移分别为12,22。应变能•余能应变能为由得功的互等定理应变能•余能功的互等定理功的互等定理：广义力Pi在由广义力Pj单独作用下引起的广义位移ij上作的功等于

8、广义力Pj在由广义力Pi单独作用下引起的广义位移ji上作的功。上述结论可推广到多个广义力作用下的情况。即，第一组广义力在第二组广义力作用下引起所对应的广义位移上作的功等于第二组广义力在第一组广义力作用下引起所对应的广义位移上作的功应变能•余能功的互等定理在上面功的互等定理中若考虑广义力Pi和Pj均为单位广义力的情况，则有位移互等定理位移互等定理：单位广义力Pi单独作用下引起的广义位移ji等于单位广义力Pj单独作用下引起的广义位移ij。上述结论表示广义位移仅在数值上是相等的，量纲上不一定是相