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1、控制系统的数学模型例设有一个倒立摆安装在马达传动车上，如图2.4所示。倒立摆不是稳定的，如果没有适当的控制力作用在它上面，它将随时可能向任何方向倾倒。这里只考虑二维问题，即认为倒立摆只在图2.5所示平面内运动。控制力u作用于小车上。假设摆杆的重心位于其几何中心A。试求该系统的运动方程式。解：（1）设输入作用力为u，输出为摆角θ。（2）写原始方程式。设摆杆中心A的坐标为，于是画出系统隔离体受力图如图2.5所示。oF图2.5隔离体受力图yMxllθAmgVVHHlcosθo图2.4倒立摆系统yFxθmgllPMA第二章控制系统的数学模型式中，J为摆杆围绕重心A的转动惯量。摆杆重心A沿x
2、轴方向运动方程为摆杆重心A沿y轴方向运动方程为即（2.1）（2.2）即摆杆围绕中心A点转动方程为小车沿x轴方向运动方程式为（2.3）（2.4）方程（2.1）~（2.4）为车载倒立摆系统运动方程组。因为还有sinθ和cosθ项，所以为非线性微分方程组。中间变量不易相消。把J的表达式代入，联合几个方程式得到如下的非线性方程组：设则有如下非线性状态方程组：面对这样的非线性问题，我们如何处理呢？（比它简单的问题如何解决？）线性问题如何处理？如何做线性问题的最优控制？如何把最优控制转化为模糊控制？如何把非线性问题化成若干个线性问题？多个模糊控制如何综合？线性问题的最有控制理论对于线性时不变（
3、LTI）系统：反馈控制系统：假定有n个传感器，使全部状态变量均可以用于反馈。（2）则有（3）输出反馈采用（4）H为常数矩阵两者比较：状态反馈效果较好；输出反馈实现较方便。线性二次型(LQ)最优控制器的任务是设定Q、R、N设计出最优控制器K（H）使线性二次型最优控制指标(代价函数)：最小由于线性二次型的性能指标易于分析、计算、处理，可得到要求的代数结果，相角裕量的优点，因而在控制系统的各个领域内都得到了广泛地重视和应用。然而，线性二次型调节器(LQR)控制的闭环系统的动态响应与加权系数矩阵Q和R之间存在着非常复杂的对应关系，这就给加权矩阵的选择带来许多困难，目前普遍采用的仿真试凑法无
4、疑限制了LQR设计方法在工程上的推广应用。采用试凑法获得的最优控制是“人工”意义下的最优，而不是真正意义上的最优。因而采用基于仿真(Matlab)的优化方法求取最满意解是解决这类问题的最佳途径。LQ和LQG最优控制函数函数名称和典型输入变元功 能lqr(A,B,Q,R,N)连续系统的LQ调节器设计lqr2(A,B,Q,R,N)连续系统的LQ调节器设计dlqr(A,B,Q,R)离散系统的LQ调节器设计lqry(A,B,Q,R)系统的LQ调节器设计lqrd(A,B,Q,R,Ts)连续代价函数的离散LQ调节器设计最优控制假设线性控制系统的状态方程为：寻求控制函数u(t)使得如下的二次目标
5、函数最小：根据泛函分析的极值原理，可以得到最优控制规律：例题设系统的状态方程为：设计最优控制器KA=[0,1,0;0,0,1;-1,4,-6];B=[0,0,1]’;C=[1,0,0];D=0Q=diag([1,1,1]);R=1;K=lqr(A,B,Q,R)K1=K(1)Ac=A-B*K;Bc=B*K1;Cc=C;Dc=DStep（Ac,Bc,Cc,Dc）；最优控制转化为模糊控制最优控制转化为模糊控制的困难在于没有一种好的办法来“计算”出规则，其中的可变性太多了。有概念、推理规则、推理办法、去模糊化办法。1985年日本人Takagi-Sugeno提出了一种新的模糊推理方式：函数式
6、模糊推理。为这种转化找到了通路，kang完善了他们的想法。函数式模糊规则此种模糊规则有时又称做“Sugeno”模糊规则”或“TSK模糊规则”。此种线性式模糊规则的优点是其参数可以很容易地从数值型数据中鉴别出来；其缺点是相较于语意式模糊规则，此种模糊规则较不具有逻辑上的意义，因此较不容易将由人类专家所提供的语意式信息和从实验中得到的数值型数据，整合起来用以建立函数模糊规则。前提：xisx0andyisy0模糊规则一：IfxisA1andyisB1Thenzisf1(x,y)模糊规则二：IfxisA2andyisB2Thenzisf2(x,y)令代表第i个模糊规则的权重，并且fi(x0
7、,y0)为第i个模糊规则经过推论后所得到的结果，最后利用“加权平均法”来去模糊化，整体最后的输出z*为：范例：函数式模糊规则(1)IfxissmallTheny=2xIfxismediumTheny=-x+3IfxislargeTheny=x-1我们采用的是“加权平均法”来去模糊化。如果我们在线性式的模糊规则中，使用(1)高斯函数作为隶属度函数、(2)最大乘积合成于模糊推论、以及(3)加权式平均法来去模糊化，则Takagi-Sugeno的线性式模糊规则的输出就是：其中
