杨辉三角与布莱尼兹三角

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1、杨辉三角与布莱尼兹三角授课教师：符日仕授课班级：08电子技术与应用杨辉：杭州钱塘人，南宋末年数学家、数学教育家。他著作甚多，由他编著的数学书共五种二十一卷，分别是《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二卷。其中后三种合称为《杨辉算法》，朝鲜、日本等国均有译本出版，后流传世界。“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，此书还说明表内除“1”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明国发现在这个表不晚于11世纪

2、。二项式（a+b）n展开式的二项式系数，当n依次取1，2，3．．．时，列出的一张表，叫做二项式系数表，因它形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们又称它为杨辉三角．（表1）例如：，它的两项的系数是1和1；，它的三项系数依次是1、2、1；，它的四项系数依次1、3、3、1。什么是杨辉三角？规律：（1）杨辉三角的第2K-1行（K是正整数）的各数字之除了两端为1，其余都是偶数。（2）行数为素数（质数）时，如第2，3，7，11等行，除了两端的1外，行数可以整除其余各数。（3）计算一下杨辉三角中各行数数学之和第2行1+1=21第3行1+2+1=4=22第4行1+3+3+1=8=23第5

3、行1+4+6+4+1=16=24第6行1+5+10+10+5+1=32=25。。。。。。第n+1行Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnr+…Cnn-1+Cnn=2n第n+1行数字的和为2n，前n行所有数的和为2n-1,它恰好比第n+1的和小2n小1。（4）从杨辉三角中一个确定的数的“左（右）肩出发，向右（左）上方作一条和左（右）斜边平行的射线，在这条射线上的各数的和等于这个数。例如：10＝1＋2＋3＋4，20＝1＋3＋6＋10，．．．＝（第4条斜线）根据这一性质，猜想下列数列的前n项和：1＋1＋1＋．．．＋1＝（第1条斜线）1＋2＋3＋．．．＋＝（第2条斜线）1＋3＋6＋．．．＋＝（第

4、3条斜线）1＋4＋10＋．．．＋（第r+1条斜线）于是有一般性结论：一般地，在第m条斜线上（从右上到左下）前n个数字的和，等于第条斜线上的第个数．1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．此数列{an}满足,a1=1,a2=1,且an=an-1+an-2(n≥3)（5）如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？这就是著名的斐波那契数列（斐波那契，中世纪意大利数学家，传世之作《算术之法》）．？问题：杨辉三角与“堆垛术”（三角垛，正方垛，．．．）我国古代数学的伟大成就——堆垛术．2、将圆弹堆成三角垛：底层是每边n的三角形，向上逐层每边少一个圆弹，顶层是一个圆弹，求总数：1、计算1

5、1的1、2、3、……次幂，看一看与杨辉三角有什么有趣的联系？观察杨辉三角所蕴含的数量关系（表2）（1）表中每个数都是组合数，第n行的第r+1个数是．（2）三角形的两条斜边上都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加，也就是．（3）杨辉三角具有对称性（对称美），即．（4）杨辉三角的第n行是二项式（a+b）n展开式的二项式系数，即杨辉三角基本性质：介绍杨辉三角蕴含的基本规律：德国数学家莱布尼兹在研究中发现了下面的单位分数三角形，其特点是单位分数是分子为1，分母为正整数的分数。由于这个三角形最早是由莱布尼兹作出，所以叫做莱布尼兹单位分数三角形，或简称为莱布尼兹三角形。根据前五行的规

6、律，可以知道第六行的第三个数是（1/60）在观察中进行角度的转换，打破常规，从下到上。杨辉三角中，一肩扛两数，是从上到下习惯观察顺序，上行两数的和与下行中间正对数相等；莱布三角形中，一脚踏两数，是自下而上的观察顺序，下行两数的和与上行中间正对数相等.布莱尼兹三角与杨辉三角有着相似的性质：（1）第n+1条线上所有数之和等于1/n。即，某些由单位分数组成的无穷级数可以由布莱尼兹三角求得。如：1/2=1/3+1/12+1/30+…1/4=1/5+1/30+1/105+…（2）布莱尼兹三角中每一个数等于其脚下两个数之和。如：1/2=1/3+1/6X1/6=1/12+1/12X1/12=1/

7、20+1/30科学的发现离不开仔细的观察，数学领域中也是如此。著名数学学欧拉曾经说过：“在被称为纯数学的那部分数学中，观察无疑地也占有重要的地位。”我该在平时的学习和生活中注意观察，学会观察，善于观察，不断提高自己的观察能力。总结：