Stokes公式环量与旋度

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1、18.7Stokes公式环量与旋度一、斯托克斯(stokes)公式斯托克斯公式是有向曲面的正向边界曲线右手法则证明如图思路曲面积分二重积分曲线积分121根椐格林公式平面有向曲线2空间有向曲线同理可证故有结论成立.Stokes公式的实质:表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.斯托克斯公式格林公式特殊情形二、简单的应用解1按斯托克斯公式,有解2又按斯托克斯公式,有解则即应用Stokes公式：可将Ⅱ型空间曲线积分化为二种情况计算（ⅰ）化为Ⅱ型曲面积分（P232例4.7.1)（ⅱ）化为Ⅰ型曲面积分（P233例4.7.2)应用步骤：（ⅰ）选定∑（被Γ所围

2、的部分）并由Γ的方向指明∑的侧向（ⅱ）利用Stokes公式时，可将Ⅱ型空间曲线积分化为化为两种曲面积分，一般以计算较简便的为宜。定理：设空间开区域G是单连通域，P、Q、R在G内具有一阶连续偏导数，则以下四个命题彼此等价在G内与路径无关2沿G内任意闭曲线L的线积分3在G内恒成立下列条件三空间曲线积分与路径无关的条件4被积表达式是某三元函数u的全微分，即其中,通常取折线路径求u用下列公式计算这时原函数u可用下列公式求出例3证明下列曲线积分与路径无关,并求积分值解故曲线积分与路径无关.下面求原函数u(x,y,z)所以三、物理意义---环流量与旋度1.环流量的定义:利用sto

3、kes公式,有2.旋度的定义:斯托克斯公式的又一种形式其中斯托克斯公式的向量形式其中Stokes公式的物理解释:例3求下列向量场的旋度解解解由力学知道点的线速度为观察旋度由此可看出旋度与旋转角速度的关系.四、小结斯托克斯公式的物理意义斯托克斯公式成立的条件斯托克斯公式