11.2.1_三角形的内角

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1、11.2与三角形有关的角11.2.1三角形的内角1.了解三角形的内角和的验证及证明过程;2.熟练利用三角形的内角和及直角三角形两锐角的关系解决问题;3.知道添加辅助线是帮助解决数学问题的方法.在一个直角三角形里住着三个内角,平时,它们三兄弟非常团结.可是有一天,老二突然不高兴,发起脾气来,它指着老大说:“你凭什么度数最大,我也要和你一样大!”“不行啊!”老大说:“这是不可能的,否则,我们这个家就再也围不起来了……”“为什么?”老二很纳闷.同学们,你们知道其中的道理吗?内角三兄弟之争三角形的三个内角和是多少?把三个角拼在一起试试看你有什么办法可以验

2、证呢?从刚才拼角的过程你能想出证明的办法吗?CBA三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°已知△ABC,求证:∠A+∠B+∠C=180°证法1:过A作EF∥BC,∴∠B=∠2,(两直线平行,内错角相等)∠C=∠1.(两直线平行,内错角相等)又∵∠2+∠1+∠BAC=180°,∴∠B+∠C+∠BAC=180°.F21ECBA证法2:延长BC到D,过C作CE∥BA,∴∠A=∠1,(两直线平行,内错角相等)∠B=∠2.(两直线平行,同位角相等)又∵∠1+∠2+∠ACB=180°,∴∠A+∠B+∠ACB=180°.21EDCBA证法3:过A作AE

3、∥BC,∴∠B=∠BAE,(两直线平行,内错角相等)∠EAB+∠BAC+∠C=180°,(两直线平行,同旁内角互补)∴∠B+∠C+∠BAC=180°.CBEA在这里,为了证明的需要,在原来的图形上添加的线叫做辅助线.在平面几何里,辅助线通常画成虚线.为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法.【例1】在△ABC中,∠A:∠B:∠C=2:2:4,求∠A,∠B,∠C的度数.解:设每一份角为x°,则∠A=2x°,∠B=2x°,∠C=4x°,由三角形内角和定理,可得:2x+2x+4x=180,解得x=22.

4、5,2x=2×22.5=45,4x=4×22.5=90.答:∠A为45°,∠B为45°,∠C为90°.【例题】(1)在△ABC中,∠A=55°,∠B=43°,则∠ACB=,∠ACD=______.(2)在△ABC中,∠A=80°,∠B=∠C,则∠C=____°.82°CBAD98°50【跟踪训练】1.如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,由三角形内角和定理,得∠A+∠B+∠C=°,即∠A+∠B+90°=°,所以∠A+∠B=°.ABC18018090【合作探究】直角三角形的两个锐角互余.直角三角形可以用符号“Rt△”表示,如直角三角形ABC可以

5、写成Rt△ABC.2.如图,在△ABC中,∠A+∠B=90°,由三角形内角和定理,得∠A+∠B+∠C=°,即∠C+90°=°,所以∠C=°,所以△ABC是______三角形.ABC18018090有两个角互余的三角形是直角三角形.直角【例2】如图∠C=∠D=90°,AD,BC相交于点E.∠CAE与∠DBE有什么关系?为什么?解:在Rt△ACE中,∠CAE=90°-∠AEC.在Rt△BDE中,∠DBE=90°-∠BED.∵∠AEC=∠BED,∴∠CAE=∠DBE.ABCDE【例题】如图,∠C=90°,∠1=∠2,△ADE是直角三角形吗?为什么?解:

6、在Rt△ABC中,∠A+∠2=90°.∵∠1=∠2,∴∠A+∠1=90°,∴△ADE是直角三角形.ABCDE21【跟踪训练】1.(苏州·中考)△ABC的内角和为()A.180°B.360°C.540°D.720°【解析】选A.根据三角形的内角和为180°,得△ABC的内角和为180°.2.(济宁·中考)若一个三角形三个内角度数的比为2︰3︰4,那么这个三角形是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形【解析】选B.设每一份角为x°,则三个角分别为2x°,3x°,4x°,由三角形内角和定理,可得:2x+3x+4x=180,解得x=

7、20.所以三个角的度数分别为40°,60°,80°,所以这个三角形为锐角三角形.3.在直角三角形ABC中,一个锐角为40°,则另一个锐角是_______°.【解析】直角三角形中有一直角为90°,所以另外两锐角的和为90°,因为一个锐角为40°,所以另一个锐角是50°.【答案】504.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=.ABCDEF【解析】∠A,∠C,∠E是△ACE的三个内角,其和为180°,∠B,∠D,∠F是△BDF的三个内角,其和为180°,所以六个角的和为360°.【答案】360°5.(1)一个三角形中最多有个直角.(2)一个三角形中

8、最多有个钝角.(3)一个三角形中至少有个锐角.(4)任意一个三角形中,最大的一个角的度数至少为.【提示】根据三角形的内角和可得出结论.【

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