11.2.1_三角形的内角

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1、11.2与三角形有关的角11.2.1三角形的内角1.了解三角形的内角和的验证及证明过程；2.熟练利用三角形的内角和及直角三角形两锐角的关系解决问题；3.知道添加辅助线是帮助解决数学问题的方法.在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？”老二很纳闷.同学们，你们知道其中的道理吗？内角三兄弟之争三角形的三个内角和是多少?把三个角拼在一起试试看你有什么办法可以验

2、证呢?从刚才拼角的过程你能想出证明的办法吗?CBA三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°已知△ＡＢＣ，求证：∠A+∠B+∠C=180°证法１：过A作EF∥BC，∴∠B=∠2,(两直线平行,内错角相等)∠C=∠1.(两直线平行,内错角相等)又∵∠2+∠1+∠BAC=180°,∴∠B+∠C+∠BAC=180°.F21ECBA证法２：延长BC到D，过C作CE∥BA，∴∠A=∠1,(两直线平行，内错角相等)∠B=∠2.(两直线平行，同位角相等)又∵∠1+∠2+∠ACB=180°,∴∠A+∠B+∠ACB=180°.21EDCBA证法3：过A作AE

3、∥BC，∴∠B=∠BAE,(两直线平行,内错角相等)∠EAB+∠BAC+∠C=180°,(两直线平行,同旁内角互补)∴∠B+∠C+∠BAC=180°.CBEA在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添加的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法.【例1】在△ABC中，∠A:∠B:∠C=2:2:4,求∠A,∠B,∠C的度数.解：设每一份角为x°，则∠A＝2x°,∠B=2x°,∠C=4x°，由三角形内角和定理，可得：2x+2x+4x=180,解得x=22.

4、5,2x=2×22.5=45,4x=4×22.5=90.答：∠A为45°，∠B为45°,∠C为90°.【例题】（1）在△ABC中，∠A=55°，∠B=43°,则∠ACB=，∠ACD＝______.（2）在△ABC中,∠A=80°,∠B=∠C,则∠C＝____°.82°CBAＤ98°50【跟踪训练】1.如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，由三角形内角和定理，得∠A+∠B+∠C=°，即∠A+∠B+90°=°，所以∠A+∠B=°.ABC18018090【合作探究】直角三角形的两个锐角互余.直角三角形可以用符号“Rt△”表示，如直角三角形ABC可以

5、写成Rt△ABC.2.如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°，由三角形内角和定理，得∠A+∠B+∠C=°，即∠C+90°=°，所以∠C=°，所以△ABC是______三角形.ABC18018090有两个角互余的三角形是直角三角形.直角【例2】如图∠C=∠D=90°,AD，BC相交于点E.∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？解：在Rt△ACE中，∠CAE=90°-∠AEC.在Rt△BDE中，∠DBE=90°-∠BED.∵∠AEC=∠BED，∴∠CAE=∠DBE.ABCDE【例题】如图，∠C=90°,∠1=∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？解：

6、在Rt△ABC中，∠A+∠2=90°.∵∠1=∠2,∴∠A+∠1=90°,∴△ADE是直角三角形.ABCDE21【跟踪训练】1.（苏州·中考）△ABC的内角和为（）A．180°B．360°C．540°D．720°【解析】选A.根据三角形的内角和为180°，得△ABC的内角和为180°.2.（济宁·中考）若一个三角形三个内角度数的比为2︰3︰4，那么这个三角形是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形【解析】选B.设每一份角为x°，则三个角分别为2x°,3x°,4x°，由三角形内角和定理，可得：2x+3x+4x=180，解得x=

7、20.所以三个角的度数分别为40°，60°,80°，所以这个三角形为锐角三角形.3.在直角三角形ABC中,一个锐角为40°,则另一个锐角是_______°.【解析】直角三角形中有一直角为90°，所以另外两锐角的和为90°，因为一个锐角为40°,所以另一个锐角是50°.【答案】504.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=.ABCDEF【解析】∠A，∠C，∠E是△ACE的三个内角，其和为180°，∠B，∠D，∠F是△BDF的三个内角，其和为180°，所以六个角的和为360°.【答案】360°5.（1）一个三角形中最多有个直角.（2）一个三角形中

8、最多有个钝角.（3）一个三角形中至少有个锐角.（4）任意一个三角形中，最大的一个角的度数至少为.【提示】根据三角形的内角和可得出结论.【