《小波分析》PPT课件

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1、§1.小波和小波变换(WaveletandWaveletTransform)几点约定:我们的讨论范围只是函数空间L2（R）；小写是时间信号，大写是其Fourier变换；尺度函数总是写成（时间域）和（频率域）；小波函数总是写成（时间域）和（频率域）。1.1小波(Wavelet)小波就是空间L2(R)中满足下述条件的函数或者信号:这时，也称为小波母函数，(2)称为容许性条件。（1）（2）连续小波函数：为由小波母函数生成的依赖于参数（a,b）的连续小波，简称为小波。（3）注释注释：如果小波母函数的Four

2、ier变换在原点是连续的，那么公式(2)说明，于是这说明函数有波动的特点，公式(1)又说明函数有衰减的特点，因此，称函数为“小波”。1.2小波变换(WaveletTransform)对于任意的函数或者信号，其小波变换为（4）性质这样定义的小波变换具有下列性质：Plancherel恒等式：小波变换的逆变换公式：（5）（6）性质吸收公式：当吸收条件成立时，有吸收的Plancherel恒等式（7）（8）性质吸收的逆变换公式（9）1.3.二进小波和二进小波变换(DyadicWaveletTransform)

3、如果小波函数满足稳定性条件(10)则称为二进小波，对于任意的整数k,记(11)逆变换对于任意的，其二进小波变换为：这时，逆变换公式是（12）（13）重构小波其中的Fourier变换满足称为二进小波的重构小波，比如可取：（14）（15）设小波为，对于任意的整数k和j，记1.4.正交小波和小波级数(OrthonormalWavelet)构成空间的标准正交基，则称是正交小波。如果函数族(16)(17)小波级数这时，逆变换公式就是小波级数(18)其中小波系数的算法是(19)连续和离散统一上的取值，因此，小波

4、系数实际上是信号f(x)的离散小波变换。其实，这也是小波变换迷人的风采之一：小波系数是信号f(x)的小波变换在二进离散点(20)连续变换和离散变换形式统一；连续变换和离散变换都适合全体信号；§2.小波分析和时-频分析(Time-FrequencyAnalysis)2.1窗口Fourier变换和Gabor变换(WindowedFourierTransformandGaborTransform)D.Gabor在1946年开创时-频分析的先河提出GaborTransform一般的时-频分析是Windowe

5、dFourierTransformShort-TimeFourierTransformWindowedFourierTransform称为信号的窗口Fourier变换，其中的函数称为窗口函数，一般要求是：具体地(21)GaborTransformD.Gabor取(22)是Gaussian函数，对应的变换称为Gabor变换(1946)。对于Gabor变换，存在如下的频率再分割公式：(23)物理解释Gabor变换是信号在x=x0点“附近”的频率为的频率成分；只要把信号在各个时间点“附近”的频率为的频率成

6、分全部累加起来，理所当然就应该是这个信号的频率为的频率成分；Gabor变换可以认为是信号f(x)的另一种等价描述(因为Fourier变换是信号的等价描述)局限Gabor变换没有“好”的（即可以构成标架或者正交基）离散形式；Gabor变换没有快速算法：比如没有类似于离散Fourier变换之FFT的快速数值算法；遗憾的是，Gabor变换存在如下局限：AppendixAFig.1.Gabor变换的固定时-频窗口t00t1t12.2.时-频分析(Time-FrequencyAnalysis）时-频分析

7、本质上是信号描述、分析和处理的一种方法，它给信号的“最优描述问题”提供一种解决方案。R.Balian(1981)早在八十年代就清清楚楚地描述了这个问题：在通讯理论中，人们对于在给定的时间内，把一个信号表示成“每一个都同时具有足够确定的位置及频率的谐波”的叠加这种信号的描述方法极感兴趣最优描述问题有用的信息总是同时被所发射信号的频率特性与信号的时间结构所传递，最好的例子是演奏音乐；把信号表成时间的函数其频率特征无法突出，而Fourier分析又无法标定各个分量发射的瞬时位置和持续时间；“最优描述”应该综

8、合这两种描述的优点，并用一个离散的刻画来表示，以适应信息理论和计算机处理的需要。Wigner分布函数Wigner分布函数是信号时-频分析的另一种具体的解决途径。信号f(x)的Wigner分布函数是著名理论物理学家E.P.Wigner在1932年提出来的，定义是：(24)显然，这是一个实的二元函数。性质Wigner分布函数有如下性质：(25)(26)(27)Wigner分布函数的物理意义Wigner分布函数的Plancherel恒等式成立；Wigner分布函数标明信号的