《量子统计密度算符》PPT课件

《《量子统计密度算符》PPT课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、密度算符经典统计的出发点，是认识到对一个给定了宏观(热力学)状态量的系统，可以假定有很多微观态在系综理论的框架上、只要几个很普遍的假设，就能推导出系统在一定微观态的概率密度。所有可观察量就根据概率密度对所有可能的微观态作平均而得．现在将这个概念转换到量子系统为此目的，我们首先考虑如何来定义一个量子力学微观态．在经典统计中，一个微观态相当十相空间的一定点。然而，对量子系统，用同样方法对粒子定义坐标与动量是不可能的。在量子力学里以系统的波函数随时间的变化来代替经典的相空间轨我们现在仍来考虑一个具有一定的宏观变量E，v．N的孤立系统，该系统

2、的总波函数为薛定鄂方程(10.1)的解，由于一个孤立系统即使在量子力学里．其总能量也是一个守恒量因此方程(10.1)中的H不显含时间)，方程(10.1)中含时间的部分可以分开，(10.2)(10.3)一般讲，由于式(10.3)只有一定能量本征值的解，因而系统的总能量E只能假定具有一定值。然而，对一个具有宏观大小的系统，其能量本征值彼此非常接近，而且简并使许多解具有同能量E．我们已经计算过一个以微正则处理的．具有N个量子粒子的系统在一个盒子中的例子(参考第5章)此外,从实际观点看,对一个宏观系统严格确定一个能量是不现实的因此(正如经典的

3、微正则系综)，我们允许一个小的不确定值，因此，存在着一系列具有能量本征值在E与之间的状态当然，这样处理对系统具有连续能谱时更有效．特殊的微观态相当于不同的波函数。我们可以简单地通过数出本征值在能量值在E和之间的状态数来得到微正则量，或对连续谱确定状态密度g(E)，并由来获得。我们从与量子微正则处理理想气体完全一样的方法开始．在量子力学情况下，我们对具有能量在之间的状态作平均，代替在经典中能壳之间的相空间点平均，然而，一个微观态对一任意可观察量不是得到一确定值，而是被测定为某值、只能是具有一定的概率。量子力学对所有观察量的平均值就是期望

4、值(10.6)在量子平均中，要加上另一个平均，人们不再能告诉到底在哪个特殊微观状态上，若对可观察量f在一系列相同系统中完成一个测量，只能测量到以概率为权重的量子力学期望值的平均，(10.7)若我们将状态用一系列展开将此式代入（10.7）得（10.10）设将上式代入(10.10),从而得（10.12）在高等量子力学中，我们已经知道密度算符很明显的这里的所以（10.12）又可写为如上所见，一个观察量f的统计平均相当于算符f与密度算符的乘积的迹若量子力学系统处在一定的微观态上，以描写，我们称之它处于纯态。若系统以频率分别处于许多不同的微观态

5、上，我们称之为它处于混合态。现在来证明：混合态和纯态一样可以完全用密度算符的矩阵元来描述，即：密度矩阵已知，则任意可观察量的量子力学平均以及统计平均都可以计算。为此，我们先把密度算符以任意的基矢展开如下：（10.19）根据上一节，对角矩阵元正是系统处于的概率，而非对角元给出系统自发地从状态跃迁到状态的概率。若我们让系统在任一状态的概率为，而对于。（稳定的系统都是这样的吗？）则密度算符可以表示如下：（10.21）纯态与混合态现在我们来证明，若在一种基矢中，已知密度矩阵，则所有的量子力学观察量可以被计算，设为系统的一可观察量，而为本状态，

6、相应的本征值为f。最一般的可测量是在纯态中能测到f的概率。这概率可以表示为纯态的密度矩阵。设为投影到可观察量的本征值为f的本状态上的投影算符。则有如下恒等式：（10.28）非常类似，我们获得对混合态密度矩阵的迹（10.30）即在量子力学每一状态出现的概率上附加了一个统计概率一般地，对任一算符及任意基矢完成迹的计算可得（10.31）当然，这与式(10.10),(10.12),(10.18)都是一致的，然而在式(10.31)中，我们已经可以看到量子力学平均与统计平均的主要差别，前者用振幅，而后者用概率，振幅是负数，具有绝对值和相，而是一个

7、实数概率，这说明量子力学平均会出现相干现象，而统计平均不会。例如，在的正交完全系中（若不完全，可以补充矢量，使其成为完全系）对纯态求观察量的量子力学平均期望值为（10.33）而，对一混合态作出统计平均，假设状态出现概率为则得：（10.34）可以看到，就算混合态的在数值上和相当，也不可能得到同样的平均值，因为相角不包括在统计平均中。例10.1自由电子一自由电子连同它的自旋，其波函数为其中：这里s=1/2或-1/2表示了自旋的两个投影方向。每一个线性组合由于，我们可以确信常常有，即系统是最大极化的。然而，若我们在一个电子的统计系综中测量极

8、化，这些电子一般讲没有完全极化。然而，这不是简单的指在一个非极化的电子流中，两个自旋投影以相等的概率出现，在统计系综中，状态矢量在对应于的子空间没有被确定，我们只能给出电子在状态或中实数的概率或，意思是两种状态的所有相对