弹性地基梁的单元刚度矩阵及其固端内力

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1、第20卷第1期华　中　科　技　大　学　学　报(城市科学版)Vol.20No.12003年3月　J.ofHUST.(UrbanScienceEdition)Mar.2003弹性地基梁的单元刚度矩阵及其固端内力11舒宣武　薛淑桃(1.华南理工大学　建筑设计研究院,广东　广州　510640)摘　要:引进弹性地基梁单元特征矩阵和积分常数矩阵的概念,揭示了特征矩阵和积分常数矩阵互为逆矩阵这一事实,使得求解弹性地基梁的问题变得简单明了.提出的求弹性地基梁单元刚度矩阵的方法以及求其上作用均布荷载的固端内力的方法,物理概念明确,编程简单,可

2、用于有限元的结构分析程序中.关键词:弹性地基梁;　单元刚度矩阵;　固端内力;　有限元;　结构分析中图分类号:TU348　文献标识码:A　文章编号:100025730(2003)0120038203　　弹性地基梁解析解法和实用的计算表格在很上式中,多文献中都有详细的介绍[1],这种解法只适用于44B=Kö4EI=kBö4EI,(3)手算,且计算工作量很大,解题范围有限.若要对为弹性地基梁的柔度特征值.式(2)的解可写成如任意弹性地基梁系进行结构分析,特别是考虑地下形式基基础同上部结构共同作用时,用查表的方法进4行计算则根本行不

3、通y(x)=∑AiHi(Bx),(4).作者给出了文克尔i=1(Winkler)弹性地基梁单元刚度矩阵以及其上作上式中,NN用均布荷载的固端内力的实用算法,并编程对算H1(N)=esinN;H2(N)=ecosN;(5)法进行了验证-N-N.计算结果表明,效果很好.H3(N)=esinN;H4(N)=ecosN.式(4)中的积分常数A1～A4可利用以下边界条件1　弹性地基梁的单元刚度矩阵求得,即4y(0)=y0=∑AiHi(0);弹性地基梁单元如图1,其刚度矩阵[K]定i=1义为4′′′y(0)=y0=∑AiHi(0);N1

4、k11k12k13k14$1i=1N42k21k22k23k24$2=(1)y(l)=yl=∑AiHi(Bl);N3k31k32k33k34$3i=14N4k41k42k43k44$4′′′y(l)=yl=∑AiHi(Bl);或i=1′′T[N]=[K]{$}.记{Y}=[y0y0ylyl];T{A}=[A1A2A3A4];H1(0)H2(0)H3(0)H4(0)′′′′H1(0)H2(0)H3(0)H4(0)[H]=,(6)H1(Bl)H2(Bl)H3(Bl)H4(Bl)′′′′图1　弹性地基梁单元H1(Bl)H2(Bl)

5、H3(Bl)H4(Bl)文克尔地基上的弹性地基梁挠曲微分方程则{Y}=[H]{A}.(7)为[1]令{Y}分别为TT4{Y1}=[1000];{Y2}=[0100];dy(x)44+4By(x)=0,(2)TTdx{Y3}=[0010];{Y4}=[0000],收稿日期:2002211225.作者简介:舒宣武(19562),男,高级工程师;广州,华南理工大学建筑设计研究院(510640).©1995-2003TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.第1期舒宣武

6、等:弹性地基梁的单元刚度矩阵及其固端内力·39·相应的积分常数及挠曲线分别为上式的解为T4{Aj}=[A1jA2jA3jA4j](j=1,2,3,4);qy(x)=∑AiHi(Bx)-4.4i=14EIByj(x)=∑AijHi(Bx)(j=1,2,3,4).根据边界条件y(0)=y′(0)=y(l)=y′(l)=j=1yj(x)为单位位移($j=1)作用下的挠曲线,记0可得44[A]=[{A1}{A2}{A3}{A4}]=Aq∑iHi(0)=4;∑AiHi′(0)=0;i=14EIBi=1a11a12a13a1444a21

7、a22a23a24Aq∑iHi(Bl)=4;∑AiHi′(Bl)=0,,(8)i=14EIBi=1a31a32a33a34写成矩阵的形式,有a41a42a43a44[H]{A}={Q}.则由式(7)及式(8)可得因而有[{Y1}{Y2}{Y3}{Y4}]=[I]=[H][A].-1{A}=[H]{Q},(10)(9)式中,由式(3)～(6)可以看出,[H]仅与梁的刚度qTEI、梁长l及集中基床系数K(或kB)有关,称为{Q}=4EIB4[1010].弹性地基梁单元的单元特征矩阵,简称特征矩阵.求出{A}后,y(x)为已知,则

8、有[A]为弹性地基梁在四个独立单位位移作用下的23dy(x)dy(x)M(x)=EI2;V(x)=EI3.积分常数矩阵,简称积分常数矩阵.dxdx从式(9)可以看出,特性矩阵[H]与积分常数(11)矩阵[A]互为逆矩阵.对于弹性地基梁,[H]的逆梁上作用上升三角形分布荷载的弹性地基梁的挠矩