《贝叶斯决策》PPT课件

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1、第五章贝叶斯决策5.1贝叶斯决策问题在前一章中，我们把人与自然界（或社会）的博弈问题归纳为决策问题，它包含三个要素：状态集；行动集；损失函数。至今为止，可供决策的信息有：先验信息；试验信息或抽样信息，其中的关键就是要确定一个可观察的随机变量X，其概率分布中恰好把它当作未知参数。对上述两种信息的使用情况，形成不同的决策问题。（1）仅使用先验信息的决策问题称为无数据的决策问题。（2）仅使用抽样信息的决策问题称为统计决策问题（3）先验信息和抽样信息都用的决策问题称为贝叶斯决策问题。例5.1某工厂的产品每100件装成一箱运交顾客，在向顾客交货前有如下两个行动的选择：若

2、工厂选择行动，则可保证交货时每件产品都是合格品，但因每件产品的检查费为0.8元，为此工厂要支付检查费80元，但顾客发现不合格品时，按合同不仅允许更换，而且每件要支付12.5元的赔偿费。若工厂从产品检查部门发现，该厂产品的不合格品率没有超过0.12的记录，取U(0,0.12)为的先验分布，应该如何决策？若该厂先在每箱中抽取两件进行检查，然后再做决策，应该如何决策？一般来说，抽样信息在决策中是很重要的信息，获得此种信息的花费也较大，应予以重视和利用。我们约定，若已知(1)有一个可观察的随机变量X，其密度函数依赖于未知参数，且。(2)在参数空间上有一个先验分布(3)

3、有一个行动集。在对做点估计时，一般取；在对做区间估计时，行动a就是一个区间，的一切可能的区间构成行动集；在对作假设检验时，只有两个行动：接受和拒绝。(4)在上定义了一个损失函数则说一个贝叶斯决策问题给定了。5.2后验风险准则一.后验风险把损失函数对后验分布的期望称为后验风险，记为，即例5.3某工厂的产品每100件装成一箱运交顾客，在向顾客交货前有如下两个行动的选择：若工厂选择行动，则可保证交货时每件产品都是合格品，但因每件产品的检查费为0.8元，为此工厂要支付检查费80元，但顾客发现不合格品时，按合同不仅允许更换，而且每件要支付12.5元的赔偿费。若工厂从产品

4、检查部门发现，该厂产品的不合格品率没有超过0.12的记录，取U(0,0.12)为的先验分布，应该如何决策？若该厂先在每箱中抽取两件进行检查，然后再做决策，应该如何决策？二.决策函数定义5.1在给定的贝叶斯决策问题中，从样本空间到行动集上的一个映射称为该决策问题的一个决策函数。所有从到上的决策函数组成的类称为决策函数类，用表示。注：在贝叶斯决策问题中，我们面临的是决策函数类D，要在D中选取决策函数，使其后验风险最小。三.后验风险准则定义在给定的贝叶斯决策问题中，是其决策函数类，则称为决策函数的后验风险。若在决策函数类D中存在这样的决策函数，它在D中具有最小的后验

5、风险，即则称为后验风险准则下的最优决策函数，或称贝叶斯决策函数或贝叶斯解。例5.5设是来自正态分布的一个样本，参数的先验分布为共轭先验分布，其中已知，损失函数为求参数的贝叶斯估计例5.6在新的止痛剂的市场占有率的估计问题中已给出损失函数药厂厂长对市场占有率无任何先验信息。在市场调查中，在n个购买止痛剂的顾客中有x个人买了新的止痛剂，试在后验风险准则下对作出贝叶斯估计。例5.7设样本x只能来自密度函数或中的一个，为了研究该样本到底来自哪个分布，我们来考虑如下简单假设的检验问题：损失函数用矩阵表示如下：5.3常用损失函数下的贝叶斯估计一.平方损失函数下的贝叶斯估计

6、定理5.1在平方损失函数下，的贝叶斯估计为后验均值，即定理5.2在加权平方损失函数下，的贝叶斯估计为定理5.3在参数向量的场合下，对多元二次损失函数的贝叶斯估计为后验均值向量：例5.8设是来自泊松分布的一个样本，若的先验分布用其共轭先验分布。试在平方损失函数下寻找的贝叶斯估计例5.9设是来自均匀分布的一个样本，的先验分布函数和密度函数分别为试在平方损失函数下寻求的贝叶斯估计例5.10某产品的寿命T服从指数分布。对指定的时间后该产品才失效的概率为，称其为该产品在时刻的可靠度，现要设法估计可靠度。设对n个该产品进行寿命试验，n个产品失效需要很长时间，一般达到事先规

7、定的失效数r试验就停止了，这样的寿命试验称为截尾寿命试验，所得的r个失效时间为称为次序样本或结尾样本。例5.11设来自伽马分布的一个样本，其中已知。试在平方损失函数下寻求的贝叶斯估计。二.线性损失函数下的贝叶斯估计定理5.4在绝对值损失函数下，的贝叶斯估计为后验分布的中位数。定理5.5在线性损失函数下，的贝叶斯估计为后验分布的分位数。例5.13考虑对一个孩子做智商测验。设测验结果x服从正态分布，其中为这个孩子的智商。若从过去的资料知，的先验分布为，从而后验分布为。若这个孩子的测验结果为115分，在估计这个孩子的智商时，认为低估比高估的损失高两倍，则其损失函数为

8、试求这个小孩智商的贝叶斯估计。三.有限