《函数的极值与导数》（人教）

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1、第三章·导数及其应用函数的极值与导数观察下图中P点附近图像从左到右的变化趋势、P点的函数值以及点P位置的特点oax1x2x3x4bxyP(x1,f(x1))y=f(x)Q(x2,f(x2))函数y=f(x)在等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f(x)在这些点的导数值是多少？这这些点附近，y=f(x)的导数的符号有什么规律？问题情境一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点,都有f(x)﹤f(x0),我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值,记作y极大值=f(x

2、0)；如果对x0附近的所有的点,都有f(x)﹥f(x0)，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0).极大值与极小值同称为极值.函数极值的定义oax1x2x3x4bxyP(x1,f(x1))y=f(x)Q(x2,f(x2))（1）极值是某一点附近的小区间而言的,是函数的局部性质,不是整体的最值;（2）函数的极值不一定唯一,在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值；（3）极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小.观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研究方法,看极

3、值与导数之间有什么关系?oax0bxyoax0bxyxx0左侧x0x0右侧f(x)f(x)xx0左侧x0x0右侧f(x)f(x)增增减减极大值极小值左正右负极大值，左负右正极小值若寻找可导函数极值点,可否只由f(x)=0求得即可?思考探索:x=0是否为函数f(x)=x3的极值点?xyOf(x)x3f(x)=3x2当f(x)=0时，x=0，而x=0不是该函数的极值点.f(x0)=0x0是可导函数f(x)的极值点x0左右侧导数异号x0是函数f(x)的极值点f(x0)=0注意：f/(x0)=

4、0是函数取得极值的必要不充分条件函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为()A、导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值B、导数y/由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值C、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值D、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值D练习注意：极值点指的是自变量x,极值指的是函数值y解:∵f(x)=x2-4,由f(x)=0解得x1=2,x2=-2.当x变化时,f(x)、f(x)的变化情况如下表：f(x)f(x)x∴当x=2时,y极

5、小值=28/3；当x=-2时,y极大值=-4/3.(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)+00-+极大值28/3极小值-4/3例1xX<-1-1(-1,0)（0，1）1X>1+0--0+极大值极小值所以，当x=-1是，函数的极大值是-2，当x=1时，函数的极小值是2导函数的正负是交替出现的吗？不是例2例3求可到函数极值的步骤：练习1、极值的判定方法2、极值的求法注意：1、f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件2、要想知道x0是极大值点还是极小值点就必须判断f(x0)=0左右侧导数的符号

6、.课堂小结3通过图像来观察函数的极值点4利用极值与导数的关系来求函数中参数的范围