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1、第20卷第3期华 中 科 技 大 学 学 报(城市科学版)Vol.20No.32003年9月 J.ofHUST.(UrbanScienceEdition)Sep.2003广义插值理论在结构优化设计中的应用研究11黄荣杰 杜太生(1.南阳理工学院,河南 南阳 473004)摘 要:在离散分析基础上提出了广义插值理论与方法,证明了有关定理,该方法可以大大减少结构优化设计计算量,且实例证明其可靠.关键词:广义插值理论; 结构优化; 离散分析+中图分类号:TU318.1 文献标识码:A 文章编号:100025730(2003)0320016203(0)T
2、 若设计变量x1,x2,⋯,xn所构成的设计空间由中心点X到任一可行点X={x1,x2,⋯,xn}n为R,相应的l个约束条件为的广义距离为H(0)T(0)k≤0(k=1,2,⋯,l);S=S(X)=(X-X)(X-X).TnX={x1,x2,⋯,xl},X∈R.这样,中心点X到任一布置可行点的距离为(j)在离散分析基础上的结构优化计算量是在优S=S(x)=(j)化方法T的探索过程中,所有经历的可行点X(X(0)(j))T(X(0)(j))(j=0,1,2,⋯,n).-X-X(j=1,2,⋯,m)都必须经过对结构的离散分析按(1)下式确定约束函数值基于以
3、hk,j和S分别为已知函数值和变量的(j)Hk(X)=hk,jk=1,2,⋯,l;j=1,2,⋯,m,插值概念,称为广义插值概念.基于广义插值概念由此直接计算,造成离散分析基础上的结构优化建立的插值函数(或多项式)为广义插值函数(或计算量大.研究表明,利用间接计算,则可急剧减多项式),引用多维插值思路可以得到广义插值函少计算量.作者在计算实践基础上,对间接计算的数理论.理论与方法作了较仔细的研究,得到了一些有效且适用的结果.2 广义插值多项式1 广义插值概念由式(1)确定的n+1个已知结点S0,S1,⋯,[1]Sn作为插值结点,就可借鉴实变函数理论,构
4、由约束函数Hk(x)都是设计变量的隐形非造n+1个以S为变量的次数不超过n的多项式(j)线性函数,其任一可行点X处的函数值hk,j都是Uj(S)=由离散分析给出.为了建立间接计算hk,j的方法,(S-S0)(S-S1)⋯(S-Sj-1)(S-Sj+1)⋯(S-Sn)n就必须提出广义插值概念:在空间R里,从中心(Sj-S0)(Sj-S1)⋯(Sj-Sj-1)(Sj-Sj+1)⋯(Sj-Sn)到边界内均匀布置n个可行点,并由选定的离散(j=0,1,2,⋯n),方法计算出各点处的函数值,即式中分子、分母的因子(·-Sj-1)(·-Sj+1)的脚(j)Hk(X
5、)=hk,jj=0,1,2,⋯,n;k=1,2,⋯,l,码表明仅去掉因子(·-Sj),例如,当j=0时,表式中,hk,j为第k个约束函数的第j个可行点处之明仅去掉因子(·-S0);当j=n时,则表明仅去(j)(j)(j)(j)T函数值;X={x1,x2,⋯,xn}.掉因子(·-Sn)1显然,有n显然,设计空间R的中心点近似地取为0j≠i;(0)(0)(0)(0)TUj(Si)=X={x1,x2,⋯,xn};1j=i.(0)xi=(ai-bi)ö2ai≤xi≤bi,i=1,2,⋯,n.可以证明:U0(S),U1(S),⋯,Un(S)为一线性收稿日期:20
6、03205227.作者简介:黄荣杰(19642),男,副教授;南阳,南阳理工学院(473004).©1995-2003TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.第3期黄荣杰等:广义插值理论在结构优化设计中的应用研究·17·•n无关函数组.事实上,若U0(S),U1(S),⋯,Un(S)线(含边界),存在与S无关的S∈R(不含边界),使n+1•性相关,则有不全为零的一组实数k0,k1,⋯,kn,使Hk(S)Rn(S)=Hk(S)-Hk,n(S)=Xn+1(S),(n+1)!k0U0(S)+k
7、1U1(S)+⋯+knUn(S)=0,(2)(6)若ki≠0,则由式(2)可得式中,Ui(S)=-(1öki)(k1U1(S)+⋯+•(0)T0Tki21Ui-1(S)+ki+1Ui+1(S)+⋯+kNUN(S)).(3)S=(X-N)(X-N),N={N1,N2,⋯,Nn};当S=Si时,(3)式左边Ui(Si)=1;(3)式右边-Xn+1(S)=(S-S0)(S-S1)⋯(S-Sn).(1öki)×0=0,故式(3)不成立,因而得证.证 在结点Si(i=0,1,2,⋯,n)处,有至此,可取U0(S),U1(S),⋯,Un(S)为已知基Rn(S)=H
8、k(Si)-Hk,n(Si)=0,函数,并张成线性空间则Rn(S)至少有n+1个零点.这样,可
