三种常用固有振动特征值解法的比较

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1、2005全国结构动力学学术研讨会海南省海口市，2005.12.19-20中国振动工程学会结构动力学专业委员会三种常用固有振动特征值解法的比较1宫玉才周洪伟陈璞袁明武（北京大学力学与工程科学系北京，100871）Email：yuanmw@pku.edu.cn摘要：本文以高效的细胞稀疏直接快速解法为核心步骤，实现了快速的固有振动广义特征值问题解法,并在相同的允许模态误差的意义下检验了三种结构动力学中常用的大型矩阵特征模态算法——子空间迭代法、迭代Ritz向量法和迭代Lanczos法的计算效率。迭代Ritz向量法平均而言最快，子空间迭代法最慢，三种解法效率相差不是太大。与ANSYS的子空间迭代和

2、Lanczos法相比，本文的子空间迭代比ANSYS的效率高很多，Lanczos法和ANSYS的差不多。大量较大规模的例题显示，本文对特征值算法的改进是十分有效的，算法的健壮性，通用性都达到了高水平。关键词：特征值，结构振动，迭代法，高效能计算引言在工程有限元分析中常常要求解广义代数特征值问题KMϕ−=λϕ0(1)的部分低阶特征值与特征向量。对于矩阵阶数超过1000的大型问题，子空间迭代法、Ritz向量法和Lanczos法被公认为求解部分低阶极端特征值和特征向量的有效方法。尽管国内外的有限元软件都提供广义代数特征值问题(1)的多种解法，但结果仍然不能令人完全满意，漏根与多根、自由模态误判都时

3、有发生。传统上，低端特征值问题求解过程极度依赖于谱变换的线性方程组T()K−==µMxLDLxMy(2)的解法，移轴矩阵K−µM的LDLT三角分解是计算量最大的主要步骤。在以变带宽解法为核心步骤的特征值解法中，它常常占到特征值问题计算时间的70%到90%。本文采用了文[1]提出的一个效率非常高的有限元解法-细胞稀疏直接快速解法（简称细胞解法）替换变带宽解法，极大地提高了三角分解的效率。如果要求不太多的特征模态，例如10个，通常认为Ritz向量法和Lanczos法具有比子空间迭代法更高的计算效率，Ritz向量法和Lanczos法比子空间迭代法平均快4～10倍[2]。但是，标准的Ritz向量法

4、和Lanczos方法对收敛的判定是相对含糊的，在实用的工程计算中可能造成漏根或多根。1高等学校博士学科点专项科研基金资助项目（编号：20030001112）172传统上，子空间迭代用特征值的两次迭代之相对误差不等式()ll(1)+

5、

6、λλ−kk≤ε(3)(1)l+λ

7、

8、λk控制收敛，而Lanczos法用其过程中的不等式−1

9、

10、λ−≤νβε

11、

12、s<(4)kiqqiν−5控制收敛。在大量的工程计算中，发现在允许误差εε==10的情形下，除最低的十几阶模态之λν外，子空间迭代与Lanczos法所得到的特征向量精度都可能不令人满意。这一现象对Lanczos方法尤为严重，原因是采用逆迭代技术时，高阶

13、的、密集的特征值不易分离。关于特征模态的收敛，不同的算法往往采用不同的标准，相对速度的比较不是很客观。对于特征模态的近似(,)λ%ϕ%，在各种算法中可以统一用模态误差(5)代替特征值误差作为收敛判据，来衡kk量算法的效率。

14、

15、KMKMϕλϕ%%%%−−%%

16、

17、ϕλϕkkk≈≤kkkε(5)

18、

19、Kϕ%

20、

21、λϕ%M%ϕkkk模态误差有明显的物理意义，Kϕ是振型ϕ的最大弹性节点力，而λ%Mϕ%是振型ϕ的最大惯性节点kkkkk力。式(5)的最左端是非平衡节点力与最大弹性节点力之比，中间是非平衡节点力与最大惯性力之比[3]。大量算例表明，在模态误差的意义之下，收敛过程平稳，三种解法效率相差不是太大。

22、迭代Ritz向量法平均最快，子空间迭代法最慢。本文最后还与ANSYSV.8.1的子空间迭代法和块Lanczos法进行了比较。1算法描述1.1子空间迭代法最初是由Clint和Jennings提出，是反幂法的推广[4]。稍后，Bathe和Wilson在其中加入了子空间上的Rayleigh-Ritz过程。它可以明显地改善收敛速度[4,5]。以下是一个子空间迭代算法的主要步骤。I．初始化1.确定子空间的维数q2.选取初始向量矩阵Nq×XR∈3.设定每次移轴的最大迭代次数ImaxII．移轴与Sturm序列校核1.计算移轴µ，应设法保证它不是特征值T2.分解移轴刚度矩阵K−µML＝DL3.Sturm序

23、列校核III．迭代Imax次，完成后转向步骤I1.将X进行M-正交归一化T−12.向量矩阵XL=()DLMX；1173*T*T3.计算K和M在X1上的投影，K=XKX11，M=XMX114.求解q阶广义特征值问题**∗∗*KΦ=ΦMΛ∗5.形成新的近似特征向量XY=Φ16.按模态误差判断特征值和特征向量的收敛，移出已收敛的特征向量，并在X中加入随机向量或减缩子空间的大小。子空间迭代法假设q个初始向量同时进行迭代，求得前p