随机最优势检验复合假设一致最优势检验

《随机最优势检验复合假设一致最优势检验》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第20课20．1随机最大功效检验在上一节的定理中，我们学习了如何在显著性水平α下进行最大功效检验（此时δ∈K），只要我们能找到，满足cα⎛⎞fX1()Ρ<⎜⎟c=α1⎜⎟fX()⎝⎠2但该条件并非总能满足，特别当我们处理离散分布时，这点从下面的例子中可以清晰感觉到，但如果我们回头去看定理的证明过程，就会发现该条件只有在保证似然比检验的第一类误差为α时才必须。在以下定理中，我们会发现集K的最大功效检验总是存在的，只要α在保证第一类误差为α的前提下随机切断两个假设的联系。定理设存在α∈[0,1]，总能找到c

2、∈[0,∞)，p∈[0,1]满足：⎛⎞⎛⎞fX11()fX()Ρ<11⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟cp+()1−Ρ=c=α（20.1）⎝⎠⎝⎠fX22()fX()此时，最大功效检验δ∈K为：α⎧fX1()⎪Hc:>1⎪fX2()⎪⎪fX()1δ=⎨Hc:<2⎪fX2()⎪fX1()⎪HH或=c12⎪⎩fX2()其中，在最后一种相等的情况下，通过以概率p随机选择H并以概率1−p选择H切12断二假设之间的联系。这种检验称为随机检验，因为需要我们随机地切断联系。证明：首先假设可以满足式（20.1）的c值和p值，于是随机检

3、验δ的第一类误差可计称为：⎛⎞⎛⎞fX11()fX()α11=Ρ()δα≠Hc11=Ρ⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟<+−()1pΡ1=c=⎝⎠⎝⎠fX22()fX()fX1()证明的多数部分下上个定理相同，我们只须指出当=c的情况下，随机检验仍fX2()是贝叶斯检验，贝叶斯检验允许任意切断，而我们在这里选择能够保证第一类误差为α的方式随机切断联系，正如式（20.2）所示。留下的唯一的问题是为什么我们总要去选择、cp以满足（20.1）。如果我们将以下方程看作为的函数，即t⎛⎞fX1()Ft()=Ρ<⎜⎟t⎜⎟fX()

4、⎝⎠2当从0增加到t∞时，F()t会从0增加到1。同时，我们须有概念，就是F()t会突变。现在有两个可能性：（A）是在t=c这点，函数F(c)将等于α，即：⎛⎞fX1()Fc()=Ρ⎜⎟

5、()Ρ⎜⎟=c⎝⎠fX2()时，则式（20.1）就得到满足。例：假设有一观测X服从贝努利分布，两个假设是关于概率函数f(X)，即：XX1−HfX11:0()=.20.8XX1−HfX22:0()=.40.6下面让我们求显著性水平α=0.05时的最大功效检验δ∈K。0.05图20.1函数F(c)图象在图20.1中，我们给出了F()c函数的图示，⎛⎞fX1()Fc()=Ρ<⎜⎟c⎜⎟fX()⎝⎠2下面解释图20.1如何而来，首先，似然比只有二个值：fX()⎧1当=1时X1⎪2=⎨fX2()⎪4当=0时X⎩3

6、1⎧⎫⎪⎪fX1()当c≤时，集合⎨⎬<=c∅是空集，而且Fc()=Ρ∅=()012⎪⎪⎩⎭fX2()14⎧⎫⎪⎪fX1()当<≤c时，⎨⎬<==cX{1}，且Fc()=Ρ1(X==10).223⎪⎪⎩⎭fX2()4⎧⎫⎪⎪fX1()最后，当c>时，⎨⎬<==cX{}01或且Fc()=Ρ==1(X011或)3⎪⎪⎩⎭fX2()如图20.1所示。在显著性水平α=0.05时，F(c)在点c=1处跳跃，要决定p值，2必须要保证第一类误差为0.05，即：⎛⎞⎛⎞fX11()fX()Ρ<11⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟cp+

7、()1−Ρ=c=0+()1−p0.2=0.05⎝⎠⎝⎠fX22()fX()3可求得p=，因此，α=0.05时最大功效检验如下：4⎧fX1()1⎪HX:>=或01⎪fX2()2⎪⎪fX()11δ=<⎨H:或不存在2⎪fX2()2⎪fX1()1⎪HH或或==X112⎪⎩fX2()231其中，在最后一种情况中若X=1，以概率选择H或以概率选择H。124420．2复合假设，一致最大功效检验我们现在转向为一个比较难的情况，而不只是有二个简单假设，假设有样本X,,…X1n服从分布Ρ，{Ρ∈,θΘ}。如果样本已知，我

8、们要决定未知参数θ是来自于Θ还是Θ，θ0θ012此时，假设可写为：H:θ∈Θ⊆Θ11H:θ∈Θ⊆Θ22已知决策规则δ，我们考察函数Π=(δθ,)Ρ≠(δH)为θ的函数，称为δ的功效函01数。功效函数有不同含义，取决于θ属于Θ还是Θ，如图20.2所示。12当θ∈Θ时，功效函数代表了第一类误差，因为θ来自于第一个假设H，而δ拒绝H。111如果θ∈Θ，功效函数代表了功效，或减去第二类误差，因为θ属于第二个假设的集合，2且δ接受假设H。因此，实际上