格林函数点源传播函数对格林函数的时间变量作偏微分得

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1、格林函数—点源传播函数对格林函数的时间变量作偏微分,得⎧0∂+0<Ψ

2、ψˆ(xt)ψˆ(xt

3、)''Ψ>,t>t'⎪HHHH∂t⎪++∂⎪ψˆ(xt'+Δ)ψˆ(xt)''−(−ψˆ(xt)''ψˆ(xt'−Δ))iG(xt,xt)''=limiHHHH,t=t'⎨∂t⎪Δ→+02Δ⎪−<Ψ0

4、ˆ+(xt)''∂ˆ(xt

5、)Ψ0>,t

6、T(ψˆH(xtψˆ)H(xt))''

7、ΨH>+δ(t−t)'δ(x−x)'∂t∂t+

8、+其中利用了ψˆH(xtψˆ)H(xt)'+ψˆH(xtψˆ)'H(xt))=δ(x−x)'∂ψ(xt),12+再利用=−∇ψ(xt),+∫dx''u(x−x)''ψ(xt),''ψ(xt),''ψ(xt),∂t2m可以得到∂G12+++∇G+∫dx''u(x−x)''∂t2m=δ(x−x)'δ()t−t'双粒子格林函数自由费米子体系的格林函数0+格林函数为iG(xt,xt)''=<

9、0T(cˆ(xt)cˆ(xt))''0

10、>

11、01ik⋅(x−x)'−iε(t−t)'当时t>t',iG(xt,xt)''=∑ek粒子传播函数Vk>kF01ik⋅(x−x)'−iε(t−t)'当时t

12、(−t)]kkkθFθθFθ1∞e−iωt利用公式θ(t)=−∫dω2πi−∞ω+i0+可以得到格林函数的动量和能量空间中的形式0θ(k−kF)θ(kF−k)G(kω)=+++ω−εk+i0ω−εk−i01∞e−iωt关于公式(t)+θ=−∫dω被积函数的奇点在ω=−i02πi−∞ω+i0+我们需要作如左面的图中所示的ωRe()Im()ω围线.作围线有一个原则,无穷大半圆上积分为零.当时t>0,围线只能如左上图那样作,因为此时,Im(ω)<0−i[Re(ω)+iIm(ω)]teIm(ω)−itRe

13、(ω)−t

14、Im(ω

15、)=e−iωt1∞e那么有−∫dω=2πi−∞ω+i0+1−×(−2πi)=12πi而沿下图中的围线积分,奇点在Re(ω)围线以外,所以积分为零.绝热假设格林函数为iG(xt,xt)''=<Ψ0

16、Tˆ((xtˆ)+(xt))''

17、Ψ0>HψHψHH0其中ΨH是基态.只有极少数的模型可以精确地解出基本态.大多数情况下我们不知道它是什么样的.不过,可以通过绝热假设来巧妙地把它形式化地表达出来.这种形式化的表示方法是在相互作用绘景中做出的.绝热假设是假设相互作用的哈密顿量子为以下的

18、时间形式2Hˆ=Hˆ+HˆiF(t);ˆh3(ˆx)+2(ˆx)0H0=−∫dxψ∇ψ2mˆi133(xxˆ)+(xˆ)+(xˆ)(xˆ)(x)H=∫dx1dx2u1−2ψ1ψ2ψ2ψ12时间因子可以写为⎧e−λt,t>0limF(t)=⎨;λ>0→0λtλ⎩e,t<0也就是说相互作用在负无穷大的时间时,相互作用为零,慢慢地加到真实大小,然后到时间为正无穷大时又变为零.相互作用为零时的基态,我们会做.这样就可以把相互作用为真实大小的基态表达为相互作用为零的基态了.绝热假设在时t→−∞,粒子之间无相

19、互作用,

20、ΨI(t→−∞,)>=

21、Φ0>以后随着时间的消逝相互作用缓慢地增长,在时t=0,增加到实际大小,这时系统达到真正的基态0

22、Ψ>=Uˆ,0(−∞

23、)Ψ(−∞)>=Uˆ,0(−∞

24、)Φ>HI0此后,当时t→∞,再让相互作用缓慢地趋于零,,0Uˆ(∞

25、)0,Ψ>=Uˆ(∞,−∞

26、)Φ>≡Sˆ

27、Φ>H00系统又回到无相互作用的基态,至多差一个相位因子−iLSˆ

28、Φ>=e

29、Φ>00这样就有0−iL

30、Ψ>=Uˆ(∞

31、)0,Φ>eH00+0格林函数的定义为iG(xt,xt)''=<ΨH

32、Tψˆ(H(x

33、tψˆ)H(xt))''

34、ΨH>相互作用绘景和海森堡绘景的联系是

35、Ψ(t)>=Uˆt

36、)0,(Ψ(t)>=Uˆt

37、)0,(Ψ>IIHQˆ(t)=Uˆt),0(Qˆ(t)Uˆt)0,(HIn(−i)tttiii演化算符为U,(tt0)=∑∫tdt1∫tdt2L∫tdtnT(HˆI(t1)HˆI(t2)LHˆI(tn))n!000n=0ti=T(exp[−i∫dt1HˆI(t1)])t00

38、Ψ>=Uˆ,0(−∞

39、)Ψ(−∞)>=Uˆ,0(−∞

40、)Φ>利用HI00−iL

41、Ψ>=Uˆ(∞

42、