格林函数-热统

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1、比较（9.5.3）和（9.5.7）可知，当时自旋极化获得的交换能与能带能量损失相等，而当　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（9.5.8）　时获得的交换能超过能带能损失。（9.5.8）称作stoner判据。以上处理适用于零温情况，对于有限温度，除了（9.5.1）中的态密度以外还要Fermi占据数。满足Stoner条件时系统会自发磁化，假定自发磁化绝热发生并建立起磁场B时，而B的变化正比于磁化强度的变化　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（9.5.9）式中以Bohr磁子为单位，比例常数是磁化率的倒数。由前面的讨论可知，自发磁化引起总能量的变化是　(9.5.10)时总能

2、量变化为负值。若由于存在感应磁场引起磁化强度，由零变化到终值，而磁化强度由零到，则总能量的变化是(9.5.11)其中负号表示自发磁化降低系统的总能量。利用（9.5.9）(9.5.10)可得(9.5.12)与相互作用电子气的Pauli磁化率比较，能带电子的磁化率增大了一个因子，对于Pd，由测量比热可得上面的讨论基于一个特别简单的假定，即接近Fermi能级的能带结构是对称的，当这一假定不成立时需要考虑实际能带结构。9.5.3Hubbard模型对于３d过渡金属，Hamiltonian对磁性有贡献的３d电子不是局域电子，它们依次在各原子轨道上游移。Bloch称为巡游电子（itinerantel

3、ectrons）,Hubbard提出了电子相互作用的简化形式，称作Hubbard模型。该模型认为，由于窄能带系统的Wannier函数十分类似于孤立原子的s电子波函数，同一原子中电子之间的相系作用远大于不同原子电子之间的相互作用，因而不同原子上电子之间的Coulomb排斥作用可以忽略;再者虽然原子的简并d轨道原则上要用几个态表示，但作为近似可只用一个电子态代表，因而Hamiltonian中只保留单电子项，包括单个电子的原子束缚能及到邻近原子的跨越能。在晶体格点位置表象中，格点（原子）能（Coulomb能）用常数U表示，只考虑电子在最近原子之间的跨越，跨越积分（跨越能）用t表示。对于由N个

4、原子构成的简单晶体，在Wannier表象中Hubbard模型Hamiltonian是　　　　　　　　　（9.5.13）　　　　其中代表自旋方向，代表格点上自旋的粒子数算符，t是交迭积分，是同一格点（原子）周围能带电子之间的Coulomb作用能。利用么正变换　　　　　　　将（９.5.13）变换到Bloch表象得到　　　　　　　　　　　　(9.5.14)式中　(9.5.15)可以证明，Hubbard模型Hamiltonian的平均场近似（或Hartree-Fock近似）就是9.5.2介绍的Stoner能带磁性模型，若作无规想近似则得金属中的自旋密度波（SDW）9.5.4推迟双时Green函

5、数磁性系统的一些物理性质可以用一对自旋算符之间的关联描述。定义两个算符A和B的关联函数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（9.5.16）式中H是系统的Hamiltonian;是Heisenberg绘景的算符，满足　　　　(9.5.17)因而有　　　　　　　　　（9.5.18）引入函数(9.5.19)是阶跃函数，时，时它满足方程(9.5.20)　　　　　（9.5.21）称为推迟双时Green函数。Fermion情况Poisson括号取反对易关系，Boson情况Poisson括号取对易关系。类似地定义超前Green函数　　　　　　　　　　　　　　　　（9.5.22）以及因果Gr

6、een函数　　　　　　　　　　　　　　　　（9.5.23）其中是编时算符　　　　　Fermion情况取“＋”号；Boson情况取“－”号定义Fourier变换　　　　　容易证明Green函数的Fourier变换是　　　　(9.5.24)9.5.5磁化率张量的Kubo公式定义系统的自旋密度算符　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(9.5.25)则自旋与外磁场的相互作用能　　　　　选取磁场的单位使得Bohr磁子，电子自旋矢量的分量是Pauli矩阵　　　　　则自旋密度算符也是磁矩密度算符。电子自旋和磁矩分别是令是系统的基态，则感应磁矩的平均值是　　　　　若只保留到磁场B的一阶项，根据（

7、9.5.9）式，其中与空间坐标和时间有关的磁化率张量　　　　　　　　　　　　　（9.5.26）式中自旋密度算符相应于无外场Hamiltonian的Heisenberg算符，Poisson括号取反对易关系。为了将自旋密度算符写成二次量子化形式，对（9.5.25）式中的作Fourier变换　　　　　是作用在电子的动量和自旋态上的单电子算符之和，而单电子波函数是　　　　　式中是Bloch函数，是具有两个分量和的自旋函数，从而得到的二次量子化形式