成都九校联考2016-2017学年高二下学期数学（理）期中试卷

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2016～2017学年度（下期）高2015级期中联考试卷理科数学考试时间共120分钟，满分150分试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”。2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）→→→→1．三棱柱ABC—A1B1C1中，若CA＝a，CB＝b，CC1＝c，则A1B等于()A．a＋b－cB．a－b＋cC．－a＋b＋cD．－a＋b－c2．函数f(x)=sinx+ex，则f'(0)的值为()第1题图A．1B．2C．3D．03.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥αx4．函数f(x)=的单调递减区间是()lnxA．(0,e)B．(e,+¥)C．(0,1),(1,e)D.(-¥,e)5．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于()A．15B．10C．4D．25553 －π，π6．已知函数f(x)＝x－sinx，若x1，x2∈22，且f(x1)＋f(x2)>0，则下列不等式中正确的是()A．x1>x2B．x10D．x1＋x2<07.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是()A．3B．92C．3D．22第7题图8．若对任意的x>0，恒有lnx≤px－1(p>0)，则p的取值范围是()A．(0,1]B．(1，＋∞)C．(0,1)D．[1，＋∞)9．甲、乙两人约定在下午4:30:5:00间在某地相见，且他们在4:30:5:00之间到达的时刻是等可能的，约好当其中一人先到后一定要等另一人20分钟，若另一人仍不到则可以离去，则这两人能相见的概率是()38A．B．49711C．D．161210．如图在一个60°的二面角的棱上有两个点A，B，线段分别AC、BD在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，且AB＝AC＝a，BD＝2a，则CD的长为()CA．2aB．5aABC．aD．3aD11．已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则b+1的取值范围是()a+1第10题图yA．(-3,1)B．(-2,1)12225-10xC．(-1,3)D．(-3,1)222第11题图 x2y212．已知F1，F2分别为双曲线C：-a2b2=1的左、右焦点，若存在过F1的直分别交双曲线C的左、右支于A，B两点，使得ÐBAF2=ÐBF2F1，则双曲线C的离心率e的取值范围是()A．(3,+¥)B．(1,2+5)C.(3,2+5)D．(1,3)第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）ò13．1x2dx=．0第12题图xy222214．已知椭圆C1:2+2ab=1(a>b>0)与双曲线C2:x-y=4有相同的右焦点F2，点P是C1和C2的一个公共点，若PF2=2，则椭圆C1的离心率等于．15．四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且两两夹角为60°.则线段AC1与平面ABC所成角的正弦值为.mex16．已知函数f(x)=1-x2+x+1，若存在唯一的正整数x0，使得f(x0)³0，则实数m的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，第17题满分10分，18-22每题满分12分，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC^BC，点D是AB的中点，求证：（Ⅰ）AC^BC1；（Ⅱ）AC1//平面B1CD．C1B1A1CBDA 18．某校举行汉字听写比赛，为了了解本次比赛成绩情况，从得分不低于50分的试卷中随机抽取100名学生的成绩(得分均为整数，满分100分)进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：组号分组频数频率第1组[50，60)50.05第2组[60，70)a0.35第3组[70，80)30b第4组[80，90)200.20第5组[90，100]100.10合计1001.00（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若从成绩较好的第3、4、5组中按分层抽样的方法抽取6人参加市汉字听写比赛，并从中选出2人做种子选手，求2人中至少有1人是第4组的概率．19．已知函数f(x)＝x2＋2alnx.（Ⅰ）若函数f(x)的图象在(2，f(2))处的切线斜率为1，求实数a的值；（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；2（Ⅲ）若函数g(x)＝＋f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a的取值范围．x 20．在四棱锥P-ABCD中，△PAB为正三角形，四边形ABCD为矩形，平面PAB^平面ABCD，AB=2AD，M,N分别为PB,PC的中点.（Ⅰ）求证：MN//平面PAD；（Ⅱ）求二面角B—AM—C的大小；（Ⅲ）在BC上是否存在点E，使得EN⊥平面AMN？BE若存在，求BC的值；若不存在，请说明理由．+222221．已知椭圆C:xy=1(a>b>0)经过点P(1,3)，离心率e=3ab（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；22．（Ⅱ）设过点E(0,-2)的直线l与C相交于P,Q两点，求DOPQ面积的最大值． 22．已知f(x)=1x2，g(x)=alnx(a>0).2（Ⅰ）求函数F(x)=（Ⅱ）若函数G(x)=取值范围；f(x)g(x)的极值；f(x)-g(x)+(a-1)x在区间(1,e)内有两个零点，求的e（Ⅲ）函数h(x)=g(x)-x+1，设xÎ(0,1)，xÎ(1,+¥)，若h(x)-h(x)x1221存在最大值，记为M(a)，则当a£e+1时，M(a)是否存在最大值？若存在，求出e其最大值；若不存在，请说明理由． 2016～2017学年度（下期）高2015级期中联考数学（理科）参考答案及评分建议一、选择题：（每小题5分，共60分）1.D；2.B；3.B；4.C；5.A；6.C；7.A；8.D；9.B；10.A；11.D；12.C；二、填空题（每小题5分，共20分）13.；14.；15.；16.；三、解答题（共70分）A1C1B1ABCDO17．证明：（1）在直三棱柱中，平面，所以，，又，，所以，平面，所以，.………..………（5分）（2）设与的交点为，连结，为平行四边形，所以为中点，又是的中点，所以是三角形的中位线，，又因为平面，平面，所以平面.………（10分） 18．(1)a＝100－5－30－20－10＝35，b＝1－0.05－0.35－0.20－0.10＝0.30.………（4分）(2)因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为，第3组：×30＝3人，第4组：×20＝2人，第5组：×10＝1人，所以第3、4、5组应分别抽取3人、2人、1人．……..………（6分）设第3组的3位同学为A1、A2、A3，第4组的2位同学为B1、B2，第5组的1位同学为C1，则从6位同学中抽2位同学有15种可能，如下：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)．其中第4组被入选的有9种，所以其中第4组的2位同学至少有1位同学入选的概率为＝.……………（12分）19.　(1)f′(x)＝2x＋＝，由已知f′(2)＝1，解得a＝－3.………4分(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞).………5分①当a≥0时，f′(x)＞0，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；………6分 ②当a＜0时，f′(x)＝.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：x(0，)(，＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0，)；单调递增区间是(，＋∞).………8分(3)由g(x)＝＋x2＋2alnx，得g′(x)＝－＋2x＋，由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数，则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立，即－＋2x＋≤0在[1,2]上恒成立．即a≤－x2在[1,2]上恒成立.………10分令h(x)＝－x2， 在[1,2]上h′(x)＝－－2x＝－(＋2x)＜0，所以h(x)在[1,2]上为减函数，h(x)min＝h(2)＝－，所以a≤－.故实数a的取值范围为{a|a≤－}.………12分20.（Ⅰ）证明：∵M，N分别是PB，PC中点∴MN是△ABC的中位线∴MN∥BC∥AD又∵AD⊂平面PAD，MN平面PAD所以MN∥平面PAD.……………….4分(Ⅱ)过点P作PO垂直于AB，交AB于点O，因为平面PAB⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，如图建立空间直角坐标系设AB=2，则A（-1,0，0），C（1,1，0）,M（,0，）,B（1,0，0），N（,，），则，设平面CAM法向量为，由可得，令，则，即 平面法向量所以，二面角的余弦值因为二面角是锐二面角，所以二面角等于……………….8分（Ⅲ）存在……………….9分设，则，由可得，所以在存在点，使得平面，此时.……………….12分21.（Ⅰ）由点在椭圆上得，①②由①②得，故椭圆的标准方程为……………….5分 ......................9分22.：（1）解：∴………1分由得，由，得∴在上单调递减，在上单调递增，∴，无极大值.………3分（2）解：∴ 又，易得在上单调递减，在上单调递增，要使函数在内有两个零点，需，即，………5分∴，∴，即的取值范围是.………7分（3）若，∵在上满足，∴在上单调递减，∴.∴不存在最大值.………8分则.∴方程有两个不相等的正实数根，令其为，且不妨设则.在上单调递减，在上调递增，在上单调递减， 对，有；对，有，∴.∴.将，代入上式，消去得∵，∴，.据在上单调递增，得.设，.，.∴，即在上单调递增.∴∴存在最大值为.………12分