南开代数拓扑讲义王向军

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1、代数几何王向军南开16届暑期学校2010年8月10-19摘摘摘要要要:本讲义是基于南开暑期学校代数拓扑的讲稿整理而得.沿着代数拓扑的一条主线,快速而简洁的给出了代数拓扑的一个概貌.非常适合于那些没有接触过代数拓扑而又想了解一点代数拓扑知识的读者.本讲义前三节讲同伦论后面几节都是讲同调论,主要涉及同伦不变性、正合序列以及切除定理,最后还提到了Mayer-Vietoris序列.主要定理的证明都是比较难的,也不可能在短短的几节课中讲明白.从而授课者采取给出定理陈述、简单介绍定理证明思想、着重强调定理的运用的讲授方法.希望本讲义笔记能给更多的人带来学习代数拓扑的愉悦体验,事实上在学习过

2、程中,我觉得很多基本的概念都是非常自然的.而这一理论在现代数学中的应用,几乎是随处可见的.主要参考书目[1]周建伟,代数拓扑讲义,北京:科学出版社,2007,很好的入门教材.[2]M.J.GreenbergandJ.R.Harper,Algebraictopology:arstcourse,Benjamin/CummingsPub.Co.,1981,学习奇异同调论.[3]A.Hatcher,Algebraictopology,清华大学出版社,2005,本质不容易搞清楚.[4]J.R.Munkres,Elementsofalgebraictopology,vol.2,Addiso

3、n-WesleyReading,MA,1984.代数拓扑基本来说分为两个部分,一是同伦论,二是同调论.主要的目的是对拓扑空间进行(同胚)分类,现在已经完成的是2维闭曲面的分类,关于3维及其以上的闭流形的分类还不知道.拓扑分类的一个基本的问题:如何判断两个拓扑空间同胚?代数拓扑的方法是引入函函函子子子的概念,使得拓扑空间的范畴⇒代数(群、环)的范畴拓扑空间X⇒群G(X)映射f:X→Y⇒同态f:G(X)→G(Y):∗NotedbyVanAbel.Email:VanAbel1例1.•R1与R2不同胚.(去掉一个点后的连通性)•R2与R3不同胚.(基本群)•Rn与Rn+1不同胚.(同调群

4、)1同伦与基本群的概念定义1.1.设f;g:X→Y是两个映射1,如果存在F:X×I=X×[0;1]→Y,使得对任何的x∈X,都有FF(x;0)=f(x)以及F(x;1)=g(x).那么称f与g同同同伦伦伦.记为f≃g,或者f≃g.F称为f到g的伦伦伦移移移.令F(x;t)=Ft(x),t∈I.F是随时间t连续变化的映射.定义1.2.设X;Y是两个拓扑空间,如果存在映射f:X→Y以及g:Y→X,使f◦g≃idX,g◦f≃idY,则称X;Y是同同同伦伦伦等等等价价价的.它比同胚弱.例2.•圆S1与R2={pt}是同伦等价的.•圆盘D2与单点集{pt}是同伦等价的.•环形带子X与S1是

5、同伦等价的.•圆环去掉一点与两个圆的一点并(相切)是同伦等价的.•So(2)≃S1.•So(3)≃RP3.注记.基本群与同调群是同伦不变的.定义1.3(道路).拓扑空间X中一条道道道路路路是指映射:I→X.且成(0)=x0为起起起点点点,(1)=x1为终终终点点点.注记.拓扑空间X称为是道道道路路路连连连通通通的的的,如果对X中任何两点都有一条道路与之相连.定义1.4(道路同伦).设;是X中从x0到x1的道路,如果存在同伦F:I×I→X使得对任意的s;t∈I都有F(s;0)=(s);F(s;1)=(s);且F(0;t)≡x0;F(1;t)≡x1:F那么称;是道道

6、道路路路同同同伦伦伦的.记作≃p或者=rel{0;1}.F(s;t)x0x1注记.若不加端点固定,则道路连通空间中的任何两条道路都是道路同伦的.1我们说的映射,除非特别说明,都假定是连续的.21同伦与基本群的概念3引理1.5.映射同伦与道路同伦都是等价关系.注记.给定两个(拓扑)空间X;Y,从X到Y的同伦等价类记为X[X;Y]=Y=≃:那么代数拓扑的基本问题就是对这个对这个等价类所成空间的研究,即同伦分类.例3.0;n=1nnn−1n[S;S]=Z;[S;S]=Z;n=2Z=2;n>2:{}注记.类似地,我们有道路同伦等价类.记PX=

7、:I→X;

8、连续,它是一个拓扑空间(有所谓的紧紧紧开开开拓拓拓扑扑扑).那么道路同伦等价类记为{}PX=≃p=[]

9、是X中的道路:定义1.6.设;是X中的两条道路,且(1)=(0)=x1,则可定义与的乘乘乘积积积道道道路路路为·:I→X(2s);0≤s≤1=2;·(s)=(2s−1);1=2≤s≤1:引理1.7.如果≃′,≃′且·可定义,则′·′也可定义且·≃′·′.ppp从而,可知道路同伦等价类中定义运算[]·[]=[·]