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《连续函数的运算及初等函数的连续性》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第九节第九节第九节第九节第一章连续函数的运算及初等函数连续函数的运算及初等函数连续函数的运算及初等函数连续函数的运算及初等函数的连续性的连续性的连续性的连续性一、连续函数的运算二、反函数的连续性三、复合函数的连续性四、初等函数的连续性一、连续函数的运算lijuan定理1、有限个在某点连续的函数的代数和是一个在该点连续的函数即：lim[()fx±fx()...±±fx()]12nx→x0=fx()±fx()...±±fx()1020n0证明：设fxgx(),()在x处连续0即：lim()fx=fx(),lim()gx=gx()00x→x0
2、x→x0设Fx()=fx()±gx()则：limFx()=lim[()fx±gx()]x→x0x→x02=lim()fx±lim()gx=fx()±gx()x→xx→x0000lijuan∴Fx()在x处连续0定理2、有限个在某点连续的函数的乘积在该点连续，即：limfxfx()()...()fx=limfx()limfx()...limfx()12n12nx→x0x→x0x→x0x→x0定理3、若fxgx(),()在x=x处连续，且gx()≠0,00fx()则：Fx()=在x=x处连续,0gx()lim()fxfx()x→x0fx()
3、0即：lim==x→x0gx()limgx()gx()0x→x03说明：lijuan1、若fx()±gx()在x=x处连续，并不代表fx()、0gx()在x=x处连续0⎧1⎧1⎪x≠0⎪−x≠0例：fx()=⎨xgx()=⎨x⎪⎩1x=0⎪⎩−1x=0∴fx()+gx()≡0不论x取何值，fx()+gx()均连续而fxgx(),()在x=0处间断。411又如：fx()=,gx()=，在x=0处为无穷间断点2lijuanxxx+1fx()+gx()=2x在x=0处为无穷间断点∴不一定2、若fxgx(),()中有一个连续，一个间断，则fx(
4、)±gx()必间断用反证法：设：Fx()=fx()+gx()在x=x处连续，0且fx()在x=x处连续0∴gx()=Fx()−fx()在x=x处连续，矛盾∴必间断053、若fx()⋅gx()在x=x处连续，则fxgx(),()不一定连续0lijuan()a若fx()⋅gx()≡0,显然，在x=x处连续，若设fx()≡0连续，0即g()x为任一函数，可连续，可不连续⎧−1x为有理数⎧1x为有理数()b若fx()=⎨gx()=⎨⎩1x为无理数⎩−1x为无理数则fxgx()i()≡−1在任一点处连续，而fxgx(),()在任一点处均不连续()
5、c若fxgx()i()连续，fx()连续且fx()在x的某一邻域0O(,)xδ内不等于0，则gx()连续，0fxgx()()→连续⎫∵gx()=⎬⇒gx()连续fx()→连续⎭6二、反函数的连续性lijuan定理4、若函数y=fx()在区间I上单调增加x−1（或单调减少）且连续，那么它的反函数x=f()y也在对应区间I={
6、yy=fxx(),∈I}上单调增加yx（或单调减少）且连续。（单调性保证反函数存在）ππ例如：y=sinx在[−,]上单调增加且连续，22∴反函数y=arcsinx在[1,1]−上单调增加且连续反三角函数：arcsi
7、n,arccos,arctan,xxxarccotx在定义域内均连续7三、复合函数的连续性lijuan(连续函数的复合函数仍为连续函数）定理5、设函数u=gx()当x→x时极限存在且等于u，00即：lim()gx=u，而函数y=fu()在点u=u处连续，00x→x0那么复合函数y=fgx[()]当x→x时的极限存在且0等于fu()，即：lim[()]fgx=lim()fu=fu()00x→x0u→u0复合函数极限的存在性证明：∵lim()gx=ulim()fu=fu()←连续00x→x0u→u08ugx=()连续∴lim[()]fgx=
8、lim()0fu=fu()lijuanx→xu→u00u0=limgx()x→x0f[lim()]gx=x→x0（1）内函数极限存在，外函数连续说明：⇒这说明极限符号和复合函数的符号可互换11limx0定理中若x→∞同样成立，例：lime=ex→∞x=e=1x→∞（2）从上题中知，在交换极限符号与复合函数符号1时，只要求lim的极限存在即可，即要求：x→∞xlim()gx=u存在即可0x→x09lijuanln(1+x)例、求：limx→0x1ln(1+x)解：lim=limln(1+x)xx→0xx→011ln(1+x)x为一复合函数
9、，且：lim(1+x)x=e存在x→011∴limln(1+x)x=ln[lim(1+x)]x=lne=1x→0x→0101x∞例、lim(1sin)−x(1)lijuanx→011limln(1sin)−
