《数学多重积分》PPT课件

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1、第十章一元函数积分学多元函数积分学重积分曲线积分曲面积分重积分三、二重积分的性质第一节一、引例二、二重积分的定义与可积性四、曲顶柱体体积的计算二重积分的概念与性质解法:类似定积分解决问题的思想:一、引例1.曲顶柱体的体积给定曲顶柱体:底：xoy面上的闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“大化小,常代变,近似和,求极限”1)“大化小”用任意曲线网分D为n个区域以它们为底把曲顶柱体分为n个2,3)“常代变”在每个4)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体5)“取极限”令2.平面薄片的质量有一个平面薄片,在xoy平面上占

2、有区域D,计算该薄片的质量M.度为设D的面积为,则若非常数,仍可用其面密“大化小,常代变,近似和,求极限”解决.1)“大化小”用任意曲线网分D为n个小区域相应把薄片也分为小区域.2)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第k小块的质量两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“大化小,常代变,近似和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:二、二重积分的定义及可积性定义:将区域D任意分成n个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,在D上的二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域D上的有

3、界函数,引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果在D上可积,也常二重积分记作这时分区域D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划记作二重积分存在定理：二重积分的几何意义：当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．因此，二重积分是在这些部分区域上的曲顶柱体体积的代数和．三、二重积分的性质(k为常数)为D的面积,则特别,由于则5.若在D上6.设D的面积为,则有7.(二重积分的中值定理)证:由性质6可知,由连续函数介值定理,至少有一点在闭区域D上为D的面积,则至少存在一点使使连续,因此例1.

4、比较下列积分的大小:其中例1.比较下列积分的大小:其中解:积分域D的边界为圆周它与x轴交于点(1,0),而域D位从而于直线的上方,故在D上例2.判断积分的正负号.解:分积分域为则原式=猜想结果为负但不好估计.舍去此项例3.估计下列积分之值D例3.估计下列积分之值解:D的面积为由于积分性质5即:1.96I2D8.设函数D位于x轴上方的部分为D1,当区域关于y轴对称,函数关于变量x有奇偶性时,仍在D上在闭区域上连续,域D关于x轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分,则有四、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为任取平面截面积为截柱体的故曲顶柱体体积为同

5、样,曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算内容小结1.二重积分的定义2.二重积分的性质(与定积分性质相似)3.曲顶柱体体积的计算二次积分法被积函数相同,且非负,思考与练习解:由它们的积分域范围可知1.比较下列积分值的大小关系:2.设D是第二象限的一个有界闭域,且0

6、域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，在分割后的三个区域上分别使用积分公式则必须分割.改变积分的次序解积分区域如图解二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）二、小结［Y－型］［X－型］思考题思考题解答二、利用极坐标系计算二重积分1、二重积分化为二次积分的公式（１）区域特征如图(极点在区域以外)2、二重积分化为二次积分的公式（２）区域特征如图(极点在区域边界上)极坐标系下区域的面积3、二重积分化为二次积分的公式（３）区域特征如图（极点

7、在区域内部）解解解解解二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用对称性）二、小结作业P136.2,4(1,2),5(3,4)P153.1,3,6(1,5,6)第三节三重积分三重积分的概念三重积分的计算一、三重积分的概念类似二重积分解决问题的思想,采用引例:设在空间有限闭区域内分布着某种不均匀的物质,求分布在内的物质的可得“大化小,常代变,近似和,求极限”解决方法:质量M.密度函数为1、定义.设存在,称为体积元素,若对作任意分割:任意取点则称此极限为函数在上的三重积分.在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.2、性质:例如下

8、列“乘积和式”极限记作3、中值定理.在有界闭域上连续,则存在使得V为的体积,二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分方法1.投