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1、3.6.9多目标函数的优化方法在实际工程设计问题中，常常期望同时有几项设计指标都达到最优值，这就是所谓的“多目标函数的优化问题”。对同一设计，同时具有两个或两个以上优化性能指标的均属多目标函数的优化问题，其数学模型的一般表达式为：求解X=[x1,x2,…,xn]T∈Rnminf1(X)minf2(X)┇minfq(X)s.t.gi(X)≤0,i=1,2,…,mhj(X)=0,j=1,2,…,p在上述多目标函数的优化问题中，各个目标函数f1(X),f2(X),…,fq(X)的优化往往是相互矛盾的，不能期望它
2、们的极小点重复在一起，即不能同时达到最优解；甚至有时还会产生对立的情况，即对一个目标函数是最优点，对另一个目标函数却是差点。这需要在各个目标函数的最优解之间进行协调，相互之间作出适当“让步”，以便取得整体最优的方案。而不能像单目标函数的优化那样，通过简单比较函数值大小的方法去寻优。由此可以看出，多目标函数的优化问题要比单目标函数的优化问题复杂的多。而多目标函数的优化方法虽然很多，但真正有效的方法并不多。以下将要介绍几种常用的优化方法。1主要目标法考虑到在多目标函数优化问题中各目标的重要程度不一样，在优化问
3、题中显然首先考虑主要目标，同时兼顾次要目标。主要目标法就是以此思想作为指导，首先将多目标函数优化问题中的全部目标函数，按其重要程度排列，最重要的排在最前面，然后依次求各个（单）目标函数的约束最优值，这时其它目标函数则根据初步设计的考虑给予适当的最优值的估计值（在求得实际最优值后应以实际最优值进行替换），作为辅助约束处理。这样就将多目标函数的约束优化问题，转化成一些单目标函数的约束优化问题，寻求整个设计可以接受的相对最优解。对数学模型中的q个分目标选出一个最重要的作为主要目标，例如选f1(X)，同时对其它q
4、-1个分目标fj(X)(j≠1)，给出上下界值:αj≤fj(X)≤βj,j≠1即限定这些分目标在一定范围内取值，把这些目标降为约束条件。于是，问题转化为下列单目标优化问题：minf1(X)s.t.gi(X)≤0,i=1,2,…,mfj(X)-βj≤0αj-fj(X)≤0,j=2,3,…,q在实际工程的优化设计中，总可以根据基本要求，对各项设计指标（目标）作出正确的估计和判断，并按其重要性进行排列，因此本法在实际使用中并不困难。2统一目标法统一目标法的实质就是将优化模型中的各个目标函数（或称分目标函数）f1
5、(X),f2(X),…,fq(X)统一到一个总的“统一目标函数”f(X)中，即令：f(X)=f{f1(X),f2(X),…,fq(X)}使原优化问题转化为求解minf(X),x∈Rns.t.gi(X)≤0,i=1,2,…,mhj(X)=0,j=1,2,…,p的形式，把多目标函数的优化问题转化为单目标函数的优化问题来求解。在极小化“统一目标函数”f(X)的过程中，为了使各个目标函数能均匀一致地趋向各自的最优值，可采用以下的一些方法：（1）加权组合法又称为线性组合法或加权因子法，即在将各个分目标函数组合为总的
6、“统一目标函数”的过程中，引入加权因子，以考虑各个分目标函数在相对重要程度上的差异及在量级和量纲上的差异。为此，f(X)写为：f(X)=∑ωjfj(X)(j=1,2,…,q)式中ωj——第j项分目标函数fj(X)的加权因子，是一个大于零的数，其值决定于各项目标的数量级及重要程度。加权组合法的关键是加权因子的选择。（2）目标规划法先分别求出各个分目标函数的最优值fj(X*)，然后根据多目标函数优化设计的总体要求，作适当调整，制定出思想的最优值fj(0)。则统一目标函数可按如下方法来构成：这意味着当各项分目标
7、函数分别达到各自的理想最优值fj(0)时，统一目标函数f(X)为最小。此法的关键在于选择恰当的fj(0)(j=1,2,…,q)值。（3）分目标乘除法如果能将多目标函数优化问题中的全部q个目标分为：目标函数法愈小愈好的所谓费用类(如材料、工时、成本、重量等)和目标函数值愈大愈好的所谓效益类(如产量、产值、利润、效益等)，且前者有s项，后者有(q-s)项,则统一目标函数可取为:显然，使f(X)min可得最优解。3宽容分层序列法此法是将多目标优化问题转化为一系列单目标优化问题的求解方法。基本思想：将多目标优化问
8、题中的q个目标函数分清主次，依次对各个目标函数求最优解，求解时，对各目标函数的最优值放宽要求，可以预先对各目标函数的最优值取给定的宽容量，即δ1>0，δ2>0，…，这样，在求后一个目标函数的最优值时，是在前一目标函数最优值附近的某一范围进行优化。各层优化问题如下：3.7优化设计实例例1：如图所示曲柄式少齿差行星传动，要求输入功率P=4KW，输入转速n1=2890r/min，输出转速n4=10r/min，总传动比i14=289，
