《高一数学函数模型及其应用复习》

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1、3.2函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型一、点击考点1．数学模型为一次函数的问题一次函数也是最常见的一种函数模型，在初中就已经接触过。［例］某人开汽车以60km/h的速度从A地到150km远的B地，在B地停留1h后，再以50km/h的速度返回A地，把汽车离开A地的距离(km)表示为时间(h)（从A地出发时开始）的函数，并画出函数的图象；再把车速(km/h)表示为时间(h)的函数，并画出函数的图象.［解］汽车离开A地的距离km与时间h之间的关系是：它的图象右如图所示.速度km/h与时间th的函数关系是：它的图象如右图所示2．数学模型为二次函数的问题二次函数为生活中最常

2、见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值（或最小值），故常常最优、最省等最值问题是二次函数的模型。［例］渔场中鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留下适当的空闲量，已知鱼群的年增长量吨和实际养殖量吨与空闲率的乘积成正党组织，比例系数为（1）写出关于的函数关系式，并指出这个函数的定义域；（2）求鱼群年增长量的最大值；（3）当鱼群的年增长量达到最大值时，求的取值范围.［例］（1）；（2）∵∴当时，取得最大值（3）依题意，为保证鱼群留有一定的生长空间，则有实际养殖量与年增长量的和小于最大养殖量，即因为当时，，所以联想到“”这一等价转化命题，则

3、有，解得但，从而得思考：本题中空闲养殖量与实际养殖率的关系如何？而实际养殖率与实际养殖量、最大养殖量的关系又是如何？3．数学模型为指数函数的问题一般地，形如的函数叫做指数函数，而在生产、生活实际中，以函数作为模型的应用问题很常见.［例］某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？（已知：）［分析］每次过滤杂质含量降为原来的，过滤次后杂质含量为，结合按市场要求杂质含量不能超过0.1%，即可建立数学模型.［解析］依题意，得，即.则，故考虑到，即至少要过滤8次才能达到市场要求。4．数学

4、模型为对数函数的问题形如（且）的函数叫做对数函数，时，此函数为增函数；时，此函数为减函数，虽然直接以对数函数作为模型的应用问题不是很多，但我们知道，对数运算实际是求指数的运算，因此在指数函数模型中，也常用对数计算。［例］在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度(m/s)和燃料的质量(kg)、火箭（除燃料外）的质量(kg)的关系当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可达12km/s？［解］由，即，利用计算器算得［例］某城市现有人口100万，如果20年后该城市人口总数不超过120万，年自然增长率应控制在多少以内？［解］设年自然增长率为，依题意有：由计算器计算得%。答：年自然增

5、长率应控制在0.9%以内。5．比较函数模型的增长趋势比较函数模型的增长趋势一般有两条途径：（1）不等式的方法，即作差比较或解不等式；（2）结合函数的图象，数形结合的方法。［例］为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”和“如意卡”在某市范围内每月（30天）的通话时间(分)与通话费(元)的关系如图所示.（1）分别求出通话费、与通话时间之间的函数关系式；（2）请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡比较使用.［分析］由图形可知，函数关系是线性关系，因此，可以用一次函数解决实际问题.［解］（1）由图象可设，把点、分别代入所设两函数式中得∴（2）令

6、，即，即当时，，两种卡收费一致；当时，，即“如意卡”便宜；当时，，即“便民卡”便宜.［点评］使用哪种电话卡使用属于最优化问题，常借助于函数的图象、函数的最值去解决.6、分段函数问题；［考题1］“依法纳税是每个公民应尽的义务”，国家征收个人工资、薪金所得税是分段计算的：总收入不超过1000元的，免征个人工资、薪金所得税；超过1000元部分需征税，设全月纳税所得额（所得额指工资、薪金中应纳税的部分）为全月总收入－1000元，税率见下表：级数全月应纳税所得额税率1不超过500元部分5%2超过500元至2000元部分10%3超过2000元至5000元部分15%………45%9超过10000

7、0元部分（1）若应纳税额为，试用分段函数表示1—3级纳税额的计算公式.（2）某人2000年10月份工资总收入为4200元，试计算这个人10月份应纳个人所得税多少元？［解析］（1）依税率表，有第一级：第二级：第三级：即（2）这个人10月份纳税所得额答：这个人10月份应缴纳个人所得税355元。［点评］本题实际上是用表格形式给出的一个分段的一次函数，要注意这个分段函数中的不同取值范围.［考题2］某公司生产一种产品每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.2