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时间:2019-05-13
《《高一数学函数模型及其应用复习》》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、3.2函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型一、点击考点1.数学模型为一次函数的问题一次函数也是最常见的一种函数模型,在初中就已经接触过。[例]某人开汽车以60km/h的速度从A地到150km远的B地,在B地停留1h后,再以50km/h的速度返回A地,把汽车离开A地的距离(km)表示为时间(h)(从A地出发时开始)的函数,并画出函数的图象;再把车速(km/h)表示为时间(h)的函数,并画出函数的图象.[解]汽车离开A地的距离km与时间h之间的关系是:它的图象右如图所示.速度km/h与时间th的函数关系是:它的图象如右图所示2.数学模型为二次函数的问题二次函数为生活中最常
2、见的一种数学模型,因二次函数可求其最大值(或最小值),故常常最优、最省等最值问题是二次函数的模型。[例]渔场中鱼群的最大养殖量为m吨,为保证鱼群的生长空间,实际养殖量不能达到最大养殖量,必须留下适当的空闲量,已知鱼群的年增长量吨和实际养殖量吨与空闲率的乘积成正党组织,比例系数为(1)写出关于的函数关系式,并指出这个函数的定义域;(2)求鱼群年增长量的最大值;(3)当鱼群的年增长量达到最大值时,求的取值范围.[例](1);(2)∵∴当时,取得最大值(3)依题意,为保证鱼群留有一定的生长空间,则有实际养殖量与年增长量的和小于最大养殖量,即因为当时,,所以联想到“”这一等价转化命题,则
3、有,解得但,从而得思考:本题中空闲养殖量与实际养殖率的关系如何?而实际养殖率与实际养殖量、最大养殖量的关系又是如何?3.数学模型为指数函数的问题一般地,形如的函数叫做指数函数,而在生产、生活实际中,以函数作为模型的应用问题很常见.[例]某化工厂生产一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过0.1%,若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少,问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求?(已知:)[分析]每次过滤杂质含量降为原来的,过滤次后杂质含量为,结合按市场要求杂质含量不能超过0.1%,即可建立数学模型.[解析]依题意,得,即.则,故考虑到,即至少要过滤8次才能达到市场要求。4.数学
4、模型为对数函数的问题形如(且)的函数叫做对数函数,时,此函数为增函数;时,此函数为减函数,虽然直接以对数函数作为模型的应用问题不是很多,但我们知道,对数运算实际是求指数的运算,因此在指数函数模型中,也常用对数计算。[例]在不考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度(m/s)和燃料的质量(kg)、火箭(除燃料外)的质量(kg)的关系当燃料质量是火箭质量的多少倍时,火箭的最大速度可达12km/s?[解]由,即,利用计算器算得[例]某城市现有人口100万,如果20年后该城市人口总数不超过120万,年自然增长率应控制在多少以内?[解]设年自然增长率为,依题意有:由计算器计算得%。答:年自然增
5、长率应控制在0.9%以内。5.比较函数模型的增长趋势比较函数模型的增长趋势一般有两条途径:(1)不等式的方法,即作差比较或解不等式;(2)结合函数的图象,数形结合的方法。[例]为了发展电信事业方便用户,电信公司对移动电话采用不同的收费方式,其中所使用的“便民卡”和“如意卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间(分)与通话费(元)的关系如图所示.(1)分别求出通话费、与通话时间之间的函数关系式;(2)请帮助用户计算,在一个月内使用哪种卡比较使用.[分析]由图形可知,函数关系是线性关系,因此,可以用一次函数解决实际问题.[解](1)由图象可设,把点、分别代入所设两函数式中得∴(2)令
6、,即,即当时,,两种卡收费一致;当时,,即“如意卡”便宜;当时,,即“便民卡”便宜.[点评]使用哪种电话卡使用属于最优化问题,常借助于函数的图象、函数的最值去解决.6、分段函数问题;[考题1]“依法纳税是每个公民应尽的义务”,国家征收个人工资、薪金所得税是分段计算的:总收入不超过1000元的,免征个人工资、薪金所得税;超过1000元部分需征税,设全月纳税所得额(所得额指工资、薪金中应纳税的部分)为全月总收入-1000元,税率见下表:级数全月应纳税所得额税率1不超过500元部分5%2超过500元至2000元部分10%3超过2000元至5000元部分15%………45%9超过10000
7、0元部分(1)若应纳税额为,试用分段函数表示1—3级纳税额的计算公式.(2)某人2000年10月份工资总收入为4200元,试计算这个人10月份应纳个人所得税多少元?[解析](1)依税率表,有第一级:第二级:第三级:即(2)这个人10月份纳税所得额答:这个人10月份应缴纳个人所得税355元。[点评]本题实际上是用表格形式给出的一个分段的一次函数,要注意这个分段函数中的不同取值范围.[考题2]某公司生产一种产品每年投入固定成本0.5万元,此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.2
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