非线性系统设计和分析中的SOS法

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1、第17卷第6期电机与控制学报Vol.17No.62013年6月ELECTRICMACHINESANDCONTROLJune2013非线性系统设计和分析中的SOS法何朕，孟范伟，王广雄，戚建成(哈尔滨工业大学航天学院，黑龙江哈尔滨150001)摘要:针对非线性控制系统的综合问题，提出了平方和(SOS)方法。SOS方法可以保证所求解的多项式总是非负的。给出了求解SOS问题的广义S方法。作为SOS方法的例子，详细分析了一个非线性系统的吸引域。给出了确定SOS问题中决策变量的方法。讨论了集合包含约束的确定和求解，并讨论了SOS问题求解中的保守性问题。SOS方法为不容

2、易解析求解的非线性问题提供了一个方便的数值求解方法，故本文的方法将会有一个广阔的应用前景。关键词:平方和;非线性系统;吸引域;SOS程序;集合包含约束中图分类号:TP273文献标志码:A文章编号:1007－449X(2013)06－0069－06SOSapproachesfornonlinearsystemanalysisanddesignHEZhen，MENGFan-wei，WANGGuang-xiong，QIJian-cheng(SchoolofAstronautics，HarbinInstituteofTechnology，Harbin150001，C

3、hina)Abstract:Asum-of-squares(SOS)synthesismethodisproposedfornonlinearcontrolsystems．TheSOSmethodguaranteesthatthepolynomialsinsolutionarealwaysnonnegative．AgeneralizedS－procedureisgivenforthesolutionoftheSOSproblem．Theregionofattractionofanonlinearsystemisanalyzedinde-tailasanexa

4、mplebyusingtheSOSmethod．ThemethodfordeclarationofthedecisionvariablesoftheSOSproblemisgiven．Theformationofthesetcontainmentconstraintanditssolutionarediscussed．TheconservativenessoftheSOSapproachisalsodiscussed．TheSOSmethodprovidesanumericaleasymeth-odforsolvingananalyticallyunsolv

5、ablenonlinearproblem，sotheproposedmethodwouldhaveawideareaofapplications．Keywords:sumofsquares;nonlinearsystem;regionofattraction;sum-of-squaresprogram;set-contain-mentconstraint系统分析中一般都是采用Lyapunov函数来进行研0引言究，但大多数场合用的都是二次型Lyapunov函数，SOS是平方和(sumofsquares)的缩写，SOS法即二阶多项式，很少用到高阶次的多项式。而且

6、由是指采用SOS多项式来研究非线性系统。非线性于采用的是二次型Lyapunov函数，控制律也都是一收稿日期:2011－11－16基金项目:国家自然科学基金委创新研究群体科学基金(61021002);国家自然科学基金(61174203;60374027);国家自然科学基金重点项目(61034001)作者简介:何朕(1972—)，女，博士，教授，研究方向为控制系统设计、鲁棒控制及H∞控制等;孟范伟(1981—)，男，博士研究生，研究方向为鲁棒控制;王广雄(1933—)，男，教授，研究方向为控制系统设计、鲁棒控制及H∞控制等;戚建成(1987—)，男，硕士研究生，

7、研究方向为鲁棒控制。通讯作者:何朕70电机与控制学报第17卷种线性的状态反馈的形式。如果要想设计高阶次的é0000ù非线性控制律，或者是想采用高于二次型的Lya-ê000－0.5úN=êú，punov函数，就得研究一般形式的多项式。假如这ê0010úêú个多项式是SOS的，那就一定是非负的。SOS法是ë0－0.500ûT一种数值求解的方法，使一些不容易解析求解的非其对所有的x都有z(x)Nz(x)=0。那么Q+λN线性方程式或不等式可以求解了。所以SOS法在也同样是Gram阵，即对于每一个λ∈，Q+λN都当前的非线性问题的研究中引起了广泛的注意。这是这个多项

8、式的Gram阵。［1－3］是一个最近才出现的新方法，