华中科技大学线性代数

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1、一、惯性定理一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩．下面我们限定所用的变换为实变换，来研究二次型的标准形所具有的性质．第三节正定二次型与正定矩阵称为且标准形中正系数个数负惯性指数，二、正(负)定二次型的概念为正定二次型为负定二次型例如为不定二次型证明充分性：故三、正(负)定二次型的判别必要性：故推论　对称矩阵为正定的充分必要条件是：的特征值全为正．推论　对称矩阵为负定的充分必要条件是

2、：的特征值全为负．定理3充分性必要性若A为正定矩阵，则A的特征值全大于零且存在正交矩阵C，使得这个定理称为霍尔维茨定理．定理4对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶主子式为正，即对称矩阵为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即二次型正定的充要条件(2)正惯性指数为n；(3)A的特征值全部大于零；(4)A与I合同；n元实二次型正定(或n阶实对称阵A正定)的充要条件是下列条件之一：二次型正定的必要条件(5)A的各阶主子式为正.例1例2判别二次型是否正定.解二次型的矩阵为用特征值判别法

3、.故此二次型为正定二次型.即知A是正定矩阵，例3判别二次型是否正定.解它的顺序主子式故上述二次型是正定的.例4判别二次型的正定性.解例5（矩阵正定的必要条件）正定矩阵具有以下一些简单性质故均为正定阵。证明均为正定阵。已知A、B为正定阵，M为可逆阵，例6首先均为对称阵。证对于任意的有且即A对称且A与I合同，故A为正定矩阵。若存在可逆对称矩阵B，使得使得证明A为正定矩阵的充要条件是存在可逆对称矩阵B，例7充分性证则必要性若A为正定矩阵，则A的特征值全大于零且存在其中，正交矩阵C，使得满足且2.正定二次型（正定矩

4、阵）的判别方法：(1)定义法；(2)顺次主子式判别法；(3)特征值判别法.四、小结1.正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系．3.根据正定二次型的判别方法，可以得到负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大家自己推导．测试题一、填空题(每小题4分，共32分)．二、计算题（共40分）．三、证明题（共20分）．四、（8分）设二次型经正交变换化成测试题答案