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1、§3.3向量空间一、向量空间二、向量空间的基、维数三、子空间四、向量的坐标五、基变换与坐标变换说明：一、向量空间的概念定义1设为向量的集合，如果集合非空，且集合对于加法及数(∈R)乘两种运算封闭，那么就称集合为实数域R上的向量空间．集合对于线性运算封闭指集合中的元素不重复；一个向量空间中必然含有零向量。例2判别下列集合是否为向量空间.解例3判别下列集合是否为向量空间.解另外，该集合显然不含零向量。试判断集合是否为向量空间.一般由向量组的所有线性组合得到的向量集合一定构成一个向量空间，记为或称L为所
2、生成(或张成)的向量空间.设向量组的极大线性无关组为因此有可见，上述向量空间虽然是由s个向量生成，但其中有些向量是“多余”的,它一定可由“更少量”的几个向量生成。由此可以引出向量空间基的概念。则与等价，例5其中(1)(2)其中可见，或虽然由三维向量组成，只是三维空间中的“平面”或者“直线”。几维空间呢？但实际上，它们那么它们到底算是由此可以引出向量空间维数的概念。那末，向量组就称为向量 的一个基，称为向量空间的维数，记为dimV=r，并称为维向量空间．二、向量空间的基与维数定义2设是向量空间，如果
3、个向量，且满足（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基．说明（3）若向量组是向量空间的一个基，则可表示为（2）若把向量空间看作向量组，那末的基就是向量组的极大无关组,的维数就是向量组的秩.显然向量空间V的基不唯一。(空间可由基向量组生成，但生成空间的向量组未必是基)(4)注意区分向量的维数与向量空间的维数。定义3设有向量空间及，若向量空间 ，就说是的子空间．实例:三、子空间设是由维向量所生成的向量空间，空间本身及其零空间是两个平凡子空间。3维空间中的直线（1维）与平面（2维）
4、是3维空间的子空间。(例如，是由3维向量构成的2维向量空间)如果是向量空间V的一个基,则任取,有这种表达式由唯一确定,这个由唯一确定的数组称为对于基坐标.的表示,即四、向量的坐标因此,我们可用n维向量注意向量的坐标与所取的基有关,同一个向量对不同的基有不同的坐标.试求中向量对于基的坐标.设所求坐标是，则由有方程组例6解由克莱姆法则解得于是所求的坐标是而对于基的坐标就是它本身。问题：一个向量空间可以存在不同的基，基与基之间有什麽关系？同一个向量在不同的基下有不同的坐标，坐标与坐标之间有什麽关系？即其
5、中到基的过渡矩阵.称为由基五、基变换与坐标变换和是空间V的两组基.设有由可知C可逆，故有其中C-1到基的过渡矩阵.称为由基定理:设向量空间V的一组基到另一组基的过渡矩阵为C.且V中一个向量在两组基下的坐标分别为X和Y,则X=CY----坐标变换公式。证明：(1)由到的过渡阵；例7已知中的两组基求(2)求向量在下的坐标.解(1)由到的过渡阵为故向量a在下的坐标为(2)已知向量在下的坐标为例8已知的两组基(1)求由基到基的过渡矩阵.设由基到基的过渡矩阵为C，解:(1)则有于是所以(2)已知解(1)已知
6、0其中要证明为空间V中的一组基，只需证线性无关。注意C是可逆的方法一故线性无关。令由线性无关，有又由C可逆，可得惟一解方法二故线性无关。由C可逆，有从而与等价，即得与有相同的秩，方法三利用矩阵的秩证明(略)。故向量a在基下的坐标为(2)已知向量在基下的坐标为1、空间解析几何中,向量α=(x,y,z)的坐标x,y,z是什么基下的.2、向量空间的基是唯一的吗？解：1、在基i=(1,0,0)j=(0,1,0)k=(0,0,1)下的坐标2、不唯一.思考题问V1,V2是不是向量空间,为什么?2、试证:由所生
7、成的向量空间是R3.1、设答：V1是向量空间,V2不是向量空间.答：因为线性无关,即是R3的一个基.六、练习题
