高中物理教学论文用圆方程数学解“磁场”物理题

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1、用圆方程（数学）解“磁场”（物理）题在教育部高考大纲物理科说明中强调对学科能力的考查，在物理学科能力中考查“应用数学工具处理物理问题的能力”，数学工具，多是三角函数、求极值、解方程等，而用圆方程解物理“磁场”题，则鲜为人知，请看以下例子。例1．2009年高考浙江卷第11题如图所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上。在xOy平面内有与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场。在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正方向发射出一束具有相同质量m、电荷量q（q>0）和初速度v

2、的带电微粒。发射时，这束带电微粒分布在0

3、线，在垂线上截取半径得圆心Q，从P’点进入磁场的粒子，也从原点O射出，从P’点作速度方向的垂线，在垂线上截取半径得圆心Q’，则Q’与Q到原点O的距离相等，如下图，则Q’与Q可能在以原点O为圆心的圆上，然后证明，见答案。【答案】带电粒子平行于x轴从C点进入磁场，说明带电微粒所受重力和电场力平衡。设电场强度大小为E，由可得4用心爱心专心方向沿y轴正方向。带电微粒进入磁场后，将做圆周运动。且r=R如图（a）所示，设磁感应强度大小为B。由得方向垂直于纸面向外（2）这束带电微粒都通过坐标原点。从任一点P水平进入磁场

4、的带电微粒在磁场中做半径为R的匀速圆周运动。如图b示，设P点与O′点的连线与y轴的夹角为θ，其圆心Q的坐标为（-Rsinθ，Rcosθ）,圆周运动轨迹方程为得x=0x=-Rsinθy=0或y=R(1+cosθ)（3）这束带电微粒与x轴相交的区域是x>0带电微粒在磁场中经过一段半径为r′的圆弧运动后，将在y轴的右方(x>0)的区域离开磁场并做匀速直线运动，如图c所示。靠近M点发射出来的带电微粒在射出磁场后会射向x轴正方向的无穷远处；靠近N点发射出来的带电微粒会在靠近原点之处穿出磁场。所以，这束带电微粒与x轴

5、相交的区域范围是x>0.例2.2009年高考海南卷第16题如图，ABCD是边长为的正方形。质量为4用心爱心专心、电荷量为的电子以大小为的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀强磁场。电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场。不计重力，求：（1）此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；（2）此匀强磁场区域的最小面积。【探究过程】根据本题的条件，很容易画出CEA圆弧，这样，第1问便可求出。然后猜想从任意点如q点射入的粒子可能如下图qA圆弧，那么就产生了矛盾：直角三角形ABO’

6、的直角边AB长为a，斜边AO’长也为a（等于CB），所以此图错误。就要把圆心O’左移，可以画出如答案中所画的图，这样带电粒子从Q点不是直接进入磁场，而是先做匀速直线运动到P，再在磁场中做圆周运动，磁场的最小范围不是以B为圆心以a为半径的半圆，而是以AEC弧和AFC弧包围的面积。【答案】设匀强磁场的磁感应强度的大小为B。令圆弧是自C点垂直于BC入射的电子在磁场中的运行轨道。电子所受到的磁场的作用力①应指向圆弧的圆心，因而磁场的方向应垂直于纸面向外。圆弧的圆心在CB边或其延长线上。依题意，圆心在A、C连线的中

7、垂线上，故B点即为圆心，圆半径为，按照牛顿定律有②联立①②式得③4用心爱心专心（2）由（1）中决定的磁感应强度的方向和大小，可知自点垂直于入射的电子在A点沿DA方向射出，且自BC边上其它点垂直于入射的电子的运动轨道只能在BAEC区域中。因而，圆弧是所求的最小磁场区域的一个边界。为了决定该磁场区域的另一边界，我们来考察射中A点的电子的速度方向与BA的延长线交角为（不妨设）的情形。该电子的运动轨迹如右图所示。图中，圆Apq的圆心为O，pq垂直于BC边，由③式知，圆弧Apq的半径仍为，在D为原点、DC为x轴，A

8、D为轴的坐标系中，P点的坐标为这意味着，在范围内，p点形成以D为圆心、为半径的四分之一圆周，它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界。因此，所求的最小匀强磁场区域是分别以和为圆心、为半径的两个四分之一圆周和所围成的，其面积为总结：从以上例题可以看出，在解“带电粒子在磁场中的运动”的题目时，圆方程，可以用来寻找或判断某点的轨迹是圆，并可由此求圆或扇形的面积。当然，关于粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径公式、