离散时间的红利模型及MARKOV链转移概率在其中的应用

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1、湖南师范大学博士学位论文离散时间的红利模型及Markov链转移概率在其中的应用姓名：谭激扬申请学位级别：博士专业：基础数学指导教师：杨向群20070501II博士学位【论文递推公式以及渐近估计公式，倒如，(本文提供的)最终破产概率、破产时赤字的分布函数．破产时赤字的母函数．破产前一时刻盈余的概率函数等．在本章的最后，我们运用所得的公式对上述风险量进行了数值计算，获得了十分满意的效果．在第三章中，我们用另一方法一一Markov链转移矩阵法推导了红利模型(I)一些重要风险量的矩阵表达式．可喜并难得的是这些表达式全是显式形式的．运用这些矩阵表达式计算出的结果与第

2、二章中数值计算结果完全吻合．这一章的论述过程大致如下．在假设条件下。保险公司的盈余过程UCt)是—个初始分布为单点分布的齐次马氏链，如果在停时(破产时刻)T处knl这个过程所得的kgT．ed．过程u(t^T3仍然是—个齐次马氏链．运用这个killed过程的—步转移概率矩阵我们首先推导出了破产时刻、破产前一时刻的盈余和破产时的赤字的联合概率函数．从这个联合概率函致我们可以求出各边际分布。从而获得有限时间内的破产概率．最终破产概率、破产时赤字的分布函数、给定破产(或破产时刻)的条件下破产时赤字的条件分布函数等．运用这一章的公式进行计算时显然计算量巨大．但值得一

3、提的是，我们获得了一些第二章中无法得到的风险量，例如，有限时间内的破产概率，赤字的条件分布等．在第四章中，我们在正的安全负载的条件下考虑红利模型(I)的负盈余时问。即保险公司的盈余处于赤字状态的时间．如果允许保险公司在破产之后仍然正常经营。或迟或早盈余将回到零状态，以后将有可能第二次破产，第三次破产⋯⋯，我们发现破产次数Ⅳ的分布有两种情况t(1)当初始盈余“=0时，Ⅳ服从几何分布；(2)当u21时，Ⅳ服从如下分布，Pr[N：kIUC03：叫：{妒(砷眇(0)】k-1【1--妒(o)】k21，2，⋯，【l一母∽k=o．所以我们就上述两种情况，分别推导了第一次

4、负盈余时问、以后各次负盈余时阿以及负盈余时问总和的一阶矩、二阶矩，母函数，分布函数(矩阵表达式)．值得强调的是，负盈余时间与首达时(盈余从0出发首次到达某一大于0的给定水平的对问)的分布有着密切的关系．首达时分布的推导已有一套成熟的方法，值得庆幸的是这套方法能成功地运用到红利模型(I)，这就是本章的切入点．我{}】常见的复合二项模型，即CerlMr(19鹧)最初定义的模型假设了单位时简内的保费收人为1个单位、每次索赔的量都是保费率的正整数倍，这不具有一般性．因此我们在第五章对这个模型作了改进，考虑—个任意正整数保费率的复合二项模型．这个模型的CerlⅪro

5、Shiu期望贴现罚金函数的推导遇到了严重的困难．所幸的是我们仍然获得了罚金函数满足的—个线性方程、—个上吴、—个下界以及—个不完善的逡推公式．上述这些公式虽然不能精确地求出罚金函数，但可为保险公司提供一个粗略的风险估计，并且在运用第六章的公式(矩阵表达式)进行数值计算时可用来作误差估计．第六章的矩阵表达的公式虽然是精确的表达，但数值计算时只能作近似计算，离散时伺的红利模型及Markov链转移概率在其中的应用·III其误差不太好估计。第五章中的公式正好弥补了这一不足之处．在第六章中，我们提出红利模型(Ⅱ)，它是在第五章改进了的复合=项模型中弓l入红利支付而得

6、到的模型．与红利模型(I)对比，—个主要的区别是红和的支付不是随机羽：决策决定的．我们假设当盈余大于或等于给定的红利界时保险公司就支付1个单位的红利．红利模型(Ⅱ)是复合二项模型的推广，因而所得结果全部包含了复合二项模型的结果．本章所采用的方法主要是Markov链转移矩阵法(与第三章类似)，这比第五章中的罚金函数法有效得多，并且所处理的模型更为广泛．这也就是本章的目的所在．Markov链转移矩阵法值得推广不仅体现在处理离散时问模型中的强大功能，我们也可以用它来对许多连续时间模型的风险量作近似计算．为了抛砖引玉，在第七章中我们考虑—个连续时间风险模型一一Sp

7、arreAndersen模型．我们用Markov链转移矩阵法成功地推导出了这个风险模塑的最终破产概率的近似计算公式以及上下界。在运用我们提供的公式进行数值计算时有一个显著的优势。那就是所得的近似值与精确值之间的误差从理论上来说是可以控制的，即误差可以控制到事先给定的任意水平．从本文可以看出，Gerher-Shiu期望贴现罚金函数法在风险理论中有其独特的优势一一计算量小。但在离散时间风险模型中运用时困难不小，这方面难题的解决还有待更多的同行的参与．对比之下，Markov链转移矩阵法在风险理论中具有广阔的应用前景．本文仅仅提出两个红利模型，我们还可以设计更多更

8、复杂的离散时甸的红利模型，并且还可以换个角度来考虑红利问题，伪如最