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时间:2019-05-09
《《8.2 余弦定理》课件》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、【课标要求】1.理解用向量方法推导余弦定理的过程,进一步巩固向量知识,体会向量的工具性.2.掌握余弦定理,能用余弦定理解三角形.8.2余弦定理三角形余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的________减去这两边与它们的夹角的余弦的积的______倍,即a2=b2+c2-________,b2=________+a2-2cacosB,c2=________.答案 平方的和 两2bccosAc2a2+b2-2abcosC自学导引1.2.已知△ABC的三边a、b、c,△ABC能否唯一确定?如何确定角A?在解三角形的过程中,求某一
2、个角时既可用余弦定理,也可用正弦定理,两种方法有什么利弊呢?提示 在区间(0,π)上,y=cosx是单调函数,由余弦定理可唯一确定相应角的值(但计算复杂).利用正弦定理时,由于y=sinx在(0,π)不单调.根据正弦值求所对应的角时,有时可确定两角,因此应结合题设条件判定解的个数.自主探究2.1.在△ABC中,已知a=1,b=2,C=60°,则c=().答案A预习测评1.答案C2.在△ABC中,sinA=2cosBsinC,则三角形为________.解析 利用正弦定理和余弦定理化边为角,即sin(B+C)=2cosBsinC,s
3、inBcosC+cosBsinC=2cosBsinC,∴sinBcosC-cosBsinC=0,∴sin(B-C)=0,∴∠B=∠C.∴b2=c2,∴b=c.答案 等腰三角形3.在△ABC中,若a20.所以A为锐角.答案 锐角4.坐标法证明余弦定理教材中用向量法给出余弦定理的证明,下面我们给出坐标法证明.名师点睛1.证明 如图所示,以△ABC的顶点A为
4、原点,射线AC为x轴的正半轴,建立直角坐标系,这时顶点B可作角A终边的一个点,它到原点的距离r=c,设点B的坐标为(x,y),由三角函数的定义可得:x=ccosA,y=csinA,即点B为(ccosA,csinA),又点C的坐标是(b,0).两边平方得:a2=(b-ccosA)2+(-csinA)2=b2+c2-2bccosA.以△ABC的顶点B或顶点C为原点,建立直角坐标系,同样可证b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和,减去这两边与它们夹角的余弦的
5、积的2倍.注意(1)利用余弦定理及推论,可以解决以下两类三角形的问题:①已知三边,求三个角.②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.这两种类型问题在有解时都只有一个解.(2)余弦定理及其推论把用“边、角、边”和“边、边、边”判定三角形全等的定理从数量化的角度进行刻画,使其变成了可计算的公式.2.题型一 已知两边及夹角解三角形【例1】典例剖析方法点评 已知三角形的两边和夹角解三角形,基本思路是先用余弦定理求出第三边,再用正弦定理或余弦定理求其他各角.1.已知三角形ABC中,a=1,b=1,C=120°,求c.题型二已知三边解三
6、角形【例2】在△ABC中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且2cosAsinB=sinC,试确定△ABC的形状.题型三判断三角形的形状【例3】所以a=b.又因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab,所以(a+b)2-c2=3ab,所以4b2-c2=3b2,所以b=c.所以a=b=c,因此△ABC为等边三角形.法二 利用角的关系来判定.因为A+B+C=180°,所以sinC=sin(A+B).又因为2cosAsinB=sinC,所以2cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB,所以sin(A-B)=0.因为A、B
7、均为三角形的内角,所以A=B.又由(a+b+c)(a+b-c)=3ab,得(a+b)2-c2=3ab,即a2+b2-c2=ab.方法点评 本题型是用正余弦定理判定三角形的形状,常有两种思路,一是通过三角形的边的关系,二是通过三角形的角的关系,这都可以用正弦定理和余弦定理来实现转化.在△ABC中,若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC,试判断三角形的形状.解 将已知等式变形为b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)=2bccosBcosC,3.已知锐角三角形的边长分别为1,3,x,则x的取值范围是多少?[错解
8、]由三角形中三边的关系知3-1b2+c2.解
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