数域上的傅里叶分析与模型式的计算

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1、DissertationfortheMasterDegreeofScienceFourierAnalysis0nComputationOfNumberFieldAndMOdularFormsDandanHuangSupervisedbyProfessorXuejunGuoFundamentalMathematicsDepartmentofMathematics，NanjingUniversityMay，2011Tomyparentsandgrandparents南京大学研究生毕业论文中文摘要首页用纸毕业论文题目：数域上的傅里叶分析与模形式的计算叁塾塑堂专业至QQ墨级硕士生姓名：黄爆丹指导教

2、师(姓名、职称)：整堂里塑捶摘要在这篇论文中，我们推广了经典的黎曼e一函数得到I广函数，它是取遍所有整理想的由理想特征得到每项的和．甚至推广到更一般的Hecke上广函数，而它是建立在住一个数域的adele和idele的基础之上的。众所周知，E。Hecke通过大量复杂地应用推广的theta函数和计算，已经建立了任意idele类特征X上的L广函数的解析延拓和函数方程。这篇论文中我们详细介绍Tate的方法来处理这类闻题。Thte的重要方法是对在域的离散子群的所有元素上求和的推广函数使用了简单的泊松求和公式。泊松求和公式本身非常重要，也是数论中的黎曼罗赫定理。通过它可以得到推广的【广函数的解析延拓

3、以及建立一个非常好的函数方程。论文的正文分为以下八个章节：第一章主要证明黎曼(一函数是如何解析延拓以及明确给出它的函数方程；第二章和第四章主要介绍了局部域、Adele和Idele的定义以及关于它们的一些基本性质和结果：第三章先介绍了一般局部域上的分析结构，如Haar测度、乘法特征和其上的局部L．因子等。接着定义了局部域上的Schwartz—Bruhat函数以及它的局部(-函数，并证明这样的局部0函数可以解析延拓，而且和之前定义的局部L因子有非常好的关系；第五章先将Schwartz—Bruhat函数推广为任一代数数域K的Adele环上的arielicSchwartz—Bruhat函数，并证明

4、了关于这类函数在一般代数数域K上的泊松求和公式和黎曼罗赫定理；第六章主要定义了adelicSchwartz—Bruhat函数关于idele类特征在K的Idele群上的整体(一函数，并用黎曼罗赫定理证明它可以解析延拓而且有非常好的函数方程；第七章证明了论文的核心定理：由黎曼(一函数推广的任一数域K上带idele类特征x的HeckeL一函数可以解析延拓而且有很好的函数方程。证明主要因为可以构造一个非常好的adelicSchwartz—Bmhat函数，以及第三章的结果使得Hecke三一函数紧密地与整体C一函数联系起来。从而由整体(一函数的解析延拓性和函数方程得到HeckeL．函数的解析延拓性和函

5、数方程；最后一章中介绍的模形式和idele类特征X有一些微妙的联系。我们主要是定义了eta-quotient并计算了两个eta-quotients的傅里叶展开，这在模形式中有很具体的意义。关键词：黎曼●函数：HeckeL一函数；泊松求和公式：黎曼罗赫定理。南京大学研究生毕业论文英文摘要首页用纸THESIS：FourierAnalysisOnNumberFieldAndComputationOfModularForm—s—SPECIALIZATION：里虹鱼墼堕堂垒!丛堑缝婴熊选POSTGRADUATE：DandanHuangMENTOR：ProfessorXuejunGuoAbstract

6、’Inthispaper，wegeneralizetheclassicalRiemama(一functiontoL—functionwhichisthe8unloverintegralidealsofacertaintypeofidealcharacter．AlsoweCallgeneralizeittoHeckeL-function，whichisbasedontheadeleringandtheidelegroupassociatedwithanumberfield。It’SwellknownthatE．Heckehasestablishedtheanalyticcontin-uati

7、onandtilefunctionalequationofL—functionformlyideleclasscharacter)(by321enormouslycomplicatedapplicationofgeneralizedthetafunctionsandcomputation．Inthispaper．wejntroduce乃≠e’8methodtosolvethesekindsofproblems．强teus