孤立子理论及其几何应用

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1、中国科学技术大学博士学位论文孤立子理论及其几何应用姓名：周扣华申请学位级别：博士专业：应用数学指导教师：田畴2003.3.1摘要本文利用孤立子理论研究三维IVlinkowski空间R2，1中的曲面，并且对某些孤子方程进行求解．对于三维Minkowski空间R2，1中主曲率kl，☆2满足日=1和Ⅳ一2mH+m2一f2=0(对于类空曲面：日=一h睾虹，K=-k】％2；对于类时曲面：日=鳟2，K=k1％2)的线性Weingarten曲面，我们得到三类Biicklund变换，这些结果一方面推广了常高斯曲率曲面的有关结论，另一方面又发展了关于常平均曲率曲面方面的理论．曲面运动作为经典物理学

2、中许多非线性现象的一个重要组成部分，这些运动可以用表示曲面随时间演化的非线性偏微分方程来刻画．对于三维Minkowski空间R2，1中具有正常高斯曲率(K=1)的类时曲面，取定特定速度，在以渐近线作为坐标曲线的情况下，曲面运动满足两个基本方程，即sinh-Gordon方程和日随时间演化的方程(其中口表示两条渐近线之间的夹角)，同时给出两个基本方程的BScklund变换和单孤子解，并通过规范变换给出相应的正常高斯曲率曲面的显式表达式．最后讨论了破裂孤子方程和(2+1)一维Burgers方程，一方面，给出两个方程的Darboux变换，另一方面，分别利用积分法得到破裂孤子方程的新解和对

3、称分析的方法得到(2+1)一维Burgers方程的群不变解以及对称和(2+1)一维Burgers方程解之间的关系．AbstractInthispaper，wemakeuseofsolitontheorytostudysurfacesinthree—dimensionalMinkowskispaceR2，1andtosolvetwo(2+1)一dimensionalsolitonequationsForthelinearWeingartensurfaceswhoseprincipalcurvaturesk1andk2satisfybothK=1andK一2mH+m2一f2=O(fo

4、rspace—likesurfaces：H=一h±2＆．K=一klk2；fortime—likesurfaces：日=业2，K=h如)inR2r，weobtainthreekindsofBScklundtransformations，andshowhowstartingfromagivenH=1orK一2mH+m2一f2=0surface．itispossibletoconstructanentirehierarchyofnewones，thereforenotonlydotheseresultsgeneralizesomepreviousconclusionabouttheco

5、nstantcurvaturesurfaces，butdevelopthetheoryabouttheconstantmeancurvaturesurfaces．Dynamicsofsurfacesisanimportantingredientofnumerousnonlinearphenomenainclassicalphysics．insomecases，manydy—namicscanbemodelledbythenonlinearpartialdifferentialequa-tionswhichdescribeanevolutionofsurfacesintime．Fo

6、rthetime—likesurfaceswithconstantpositiveGaussiancurvature(K=11in孵”，weconstructthecorrespondencebetweenR2randsl(2，R)，anddeducethefundamentaIeqaationsforaspeciaIchoiceofthevelocityofmotionoftime—likesurfacesinasymptoticcoordinatesundersuitableconditions，meanwhile，wegivetheBhcklundtrans．formati

7、onandonesolitonsolutionoftheevolutionequations，thenintermsofagaugetransformationweobtaintheexplictexpressionofthemotionofsurfaces．Finally,westudythebreakingsolitonequationand(2-t-1)-di—mensionalBurgersequation．Ononehand，wegiveDarbouxtrans—for