《1.4.2 微积分基本定理》课件7

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1、《1.4.2微积分基本定理》课件7如果总是用定义来求定积分，那将非常麻烦，有时甚至无法计算。而求导数比求定积分容易得多。17世纪，牛顿和莱布尼茨找到两者之间的关系。我们还是从爬山说起。如图，把地平面取作横坐标轴，y=F(x)是爬山路线，并假定曲线y=F(x)与x轴在同一平面内，A是出发点,点B为山顶。在爬山路线的每一点(x，F(x))，山坡的斜率为F’(x)。将区间[a，b]n等分，记△x=我们来分析每一小段所爬高度与这一小段所在直线的斜率的关系。不妨以[xk，xk+1]为例，EF是曲线过点E的切线，其斜率为F’(xi),于是GF=F’(xK)△x。在此段所爬高度hk为GH，

2、GH=F(xk+1)－F(xk)。当△x很小时(即n很大)hk=GH≈GF.即F(xk+1)－F(xk)≈F’(xk)△x.这样，我们得到了一系列近似等式：h1=F(a+△x)－F(a)≈F’(a)△x，h2=F(a+2△x)－F(a+△x)≈F’(a+△x)△x,h3=F(a+3△x)－F(a+2△x)≈F’(a+2△x)△x,…………hn－1=F[a+(n－1)△x]－[(a+(n－2)△x)≈F’[a+(n－2))△x]△x，hn=F(b)－F[a+(n－1)△x)≈F’[a+(n－1)△x]△x，将上列n个近似等式相加，得到从A到B所爬的总高度h=h1+h2+……+h

3、n=F(b)－F(a)由定积分定义可知：当△x→0时，这一公式告诉我们：F’(x)从a到b的积分等于F(x)在两端点的取值之差微积分基本定理如果F’(x)=f(x)，且f(x)在[a，b]上可积，则其中F(x)叫做f(x)的一个原函数。由于[F(x)+C]’=f(x)，F(x)+C也是f(x)的原函数。其中C为常数。一般地，原函数在[a，b]上的改变量F(b)－F(a)简记作F(x)，因此微积分基本定理可以写成形式：例1.求y=sinx在[0,π]上阴影部分的面积S.解：S=因为(－cosx)’=sinx，所以－cosx是sinx的一个原函数，因此=(－cosπ)－(－cos

4、0)=1+1=2．例2．求曲线y=sinx与x轴在区间[0，2π]是所围成阴影部分的面积S。解：由例1知=2，又可以求得=－2，正弦函数在区间[π，2π]上的积分为负值，因此正弦函数在[0，2π]上的定积分为0，但是它不等于我们所求的阴影部分的面积，所以S=+

5、

6、=2+2=4．例3．计算：（1）；（2）解：（1）因为所以（2）因为所以例4．计算:解：由于是y=x2的一个原函数，所以例5．汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度a=1.8米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？解：首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。当t=0时，汽车速

7、度v(0)=32公里/小时=米/秒≈8.88米/秒.刹车后汽车减速行驶，其速度为v(t)=v(0)－at=8.88－1.8t.当汽车停住时，速度v(t)=0，故从v(t)=8.88－1.8t=0解得秒.于是在这段时间内，汽车所走过的距离是米即在刹车后，汽车需走过21.90米才能停住.例6.计算其中解12f(x)=2xy=5再见