强化反比例函数应用教学的尝试

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1、反比例函数用处多长期以来，我们对初中阶段所学习的三类函数：一次函数、二次函数、反比例函数中的二次函数情有独钟，进行了大量的研究和探讨，开拓了很多有新意的好题.但往往忽略了反比例函数在教与学的过程中的作用，导致许多高中学生在处理诸如求函数值域、解简单的分式不等式、讨论函数的单调性的问题时出现许多不应有的烦琐与错误.现代教育理论告诉我们：只有用最接近学生的认知水准的方式引导他们，才能使其更有效学好新知识、解决新问题.通过近几年的教学实践，我认为在初、高中函数教学的衔接处，加强反比例函数应用的教学，无论是帮助学生掌握“数形结合”的思想方法，还是引导学

2、生在处理问题时避免不必要的繁杂计算方面都是大有裨益的.一、利用反比例函数处理与不等式有关的问题：xyo-23图1(1)问题1.解不等式：-2<≤3，对于此问题许多高一学生都采用各边取倒数的>-2≤3方式,但误解为：{x

3、

4、x<或x≥}.如图（1）.类似地还可解：-3<<4-3<<4-4<<3，令x-1=t则可得：t<或t>1{x

5、x<或x>2}.问题2.若a>b，且ab>0时，则<.此问题我们的常规推导方式为：由-=，∵a>b∴b-a<0，则当ab

6、>0时<.这个问题若从反比例函数的角度来处理也非常容易：∵函数y=在（-∞，0）及（0，+∞）上分别是减函数，但在（-∞，+∞）不具备单调性，∴只有a、b同号即ab＞0时才有：若a>b，则<.这样学生理解起来既形象又简单.二、利用反比例函数处理求形如y=的函数的值域.问题3.求函数y=的值域.分析：此问题的一般解法为判别式法，学生在转化上不易想到，且理解上也存在一定的困难，若令t=x2+x-1≥-，则利用反比例函数y=的图象易得：3{y

7、y≤-或y>0}.问题4.求函数y=的值域.分析：函数y=可变形为，y=2-，令t=x2+x-1≥-，利用反

8、比例函数u=-，可得u≥或u<0，从而可得{y

9、y≥或y<2}.问题5.已知函数y=的值域为[-1，4]，求a、b的值.分析：（1）当ax+b=0时，y=0满足条件；（2）当ax+b≠0时，令ax+b=t，x=（由已知a≠0，否则由上述问题3知其值域不可能是[-1，4]），则y=，∵u=-2b∈（-∞，--2b]∪[-2b，+∞），利用反比例函数y=可得y∈[，]=-1且=4a=±4且b=3.此种解法虽然计算量大一些，但学生易于理解，便于掌握.若用判别式法，虽然计算量小一些，但转化生涩，学生不易理解，且还要考虑检验端点、分二次项的系数是否为零来

10、分类讨论等繁杂步骤.再如求函数y=的值域用此法极易求得：y∈[].一般来说，对于求形如：（a、a不同时为0）的函数值域的问题，①若a=b=0时即为上述问题3型；②若a∶a=b∶b时即为上述问题4型；③若a=0时即为上述问题5型（利用函数y=x+，a≠0的单调性）；④若a≠0，则可先分离常数后转化为问题5型求解.三.利用反比例函数讨论函数的单调性3问题6.若函数在（-∞，-3）上单调递减，求a的取值范围.分析：∵，将其与函数y=的单调性类比知a<为所求.问题7.求函数的单增区间.分析：∵令u=，t=x2+x+2>0，由于u是t的减函数∴函数的单增

11、区间即为t=x2+x+2的单减区间，故x∈（-]为所求.另外利用反比例函数y=（k≠0）图象的平移变换，还易得函数的单调区间为（-∞，-），（-，+∞）；值域为y∈{y∈R

12、y≠}；对称中心为(，)等结论.3