函-数【概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结】

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1、概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结函数一．映射:AB的概念。在理解映射概念时要注意：㈠中元素必须都有象且唯一；㈡B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。.二．函数:AB是特殊的映射。特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与轴的垂线至多有一个公共点，但与轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。如：（1）已知函数，，那么集合中所含元素的个数有个（答：0或1）；三．同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。四．求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先

2、的原则）：1．根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数中且，三角形中,最大角，最小角等。如2．根据实际问题的要求确定自变量的范围。五．求函数值域（最值）的方法：1．配方法――二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），如求函数的值域（答：[4,8]）；2．换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如的值域为_____（答：）；3．函数有界

3、性法――直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性，如求函数，的值域（答：、（0,1）、）；4．单调性法――利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如求，，的值域（答：、、）；5．数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，如已知点在圆上，求的取值范围（答：、）；注意：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在轴的两侧，而求两点距离之差时，则要使两定点在轴的同侧。（答：）（答：）6．不等式法――利用基本不等式求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求

4、和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。7．导数法――一般适用于高次多项式函数，如求函数，的最小值。（答：－48）提醒：（1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？（2）函数的最值与值域之间有何关系？六．分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值时，一定首先要判断属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。如设函数，则使得的自变量的取值范围是__（答：）；七．求函数解析式的常用方法：1．待定系数法――已知所求函数的

5、类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：；顶点式：；零点式：，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）。如已知为二次函数，且，且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为2,求的解析式。（答：）2．方程的思想――已知条件是含有及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的方程组。八．函数的奇偶性。1．具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。如2．确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：①定义法：如判断函数的奇偶性____（

6、答：奇函数）。②利用函数奇偶性定义的等价形式：或（）。如判断的奇偶性___.（答：偶函数）③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称。3．函数奇偶性的性质：①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.②如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.③若为偶函数，则.如④若奇函数定义域中含有0，则必有.故是为奇函数的既不充分也不必要条件。如若为奇函数，则实数＝____（答：1）.⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。如设是定义域为R的任一函数，

7、，。①判断与的奇偶性；②若将函数，表示成一个奇函数和一个偶函数之和，则＝____（答：①为偶函数，为奇函数；②＝）⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.⑦既奇又偶函数有无穷多个（，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.九．函数的单调性。1．确定函数的单调性或单调区间的常用方法：①在解答题中常用：定义法（取值――作差――变形――定号）、导数法（在区间内，若总有，则为增函数；反之，若在区间内为增函数，则，请注意两