函_数【概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结】

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1、函_数【概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结】　　概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结　　函数一．映射:AB的概念。在理解映射概念时要注意：㈠中元素必须都有象且唯一；㈡B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如：　　（1）设是集合到的映射，下列说法正确的是　A、中每一个元素在中必有象B、中每一个元素在中必有原象　　C、中每一个元素在中的原象是唯一的　D、是中所在元素的象的集合　　（答：A）；　　（2）点在映射的作用下的象是，则在作用下点的原象为点________　　（答：（2，－1））；　　（3）若，，，则到的映射有个，到的映射有个，到的函数有个　　（答：81,64,81）；　

2、　（4）设集合，映射满足条件“对任意的，是奇数”，这样的映射有____个　　（答：12）；　　（5）设是集合A到集合B的映射，若B={1,2}，则一定是_____　　（答：或{1}）.二．函数:AB是特殊的映射。特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与轴的垂线至多有一个公共点，但与轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。如：　　（1）已知函数，，那么集合中所含元素的个数有个　　（答：0或1）；　　（2）若函数的定义域、值域都是闭区间，则＝　　（答：2）三．同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域

3、和对应法则相同时，它们一定为同一函数。如　　若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为，值域为{4，1}的“天一函数”共有______个　　（答：9）四．求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：　　1．根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数中且，三角形中,最大角，最小角等。如　　（1）函数的定义域是____　　(答：)；　　（2）若函数的定义域为R，则_______　　(答：)；　　（3）函数的定义域是，，则函数的定义域是__________　　(答：)；　　（4）设函数，①若的定义域是R

4、，求实数的取值范围；②若的值域是R，求实数的取值范围　　（答：①；②）　　2．根据实际问题的要求确定自变量的范围。　　3．复合函数的定义域：若已知的定义域为,其复合函数的定义域由不等式解出即可；若已知的定义域为,求的定义域，相当于当时，求的值域（即的定义域）。如　　（1）若函数的定义域为，则的定义域为__________　　（答：）；　　（2）若函数的定义域为，则函数的定义域为________　　（答：[1,5]）．五．求函数值域（最值）的方法：1．配方法――二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最

5、值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），如　　（1）求函数的值域　　（答：[4,8]）；　　（2）当时，函数在时取得最大值，则的取值范围是___　　（答：）；　　（3）已知的图象过点（2,1），则的值域为______　　（答：[2,5]）2．换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如　　（1）的值域为_____　　（答：）；　　（2）的值域为_____　　（答：）　　（3）的值域为____　　（答：）；　　（4）的值域为____　　（答：）；3．函数有界性法――直接求

6、函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性，如　　求函数，，的值域　　（答：、（0,1）、）；4．单调性法――利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如　　求，，的值域　　（答：、、）；5．数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，如　　（1）已知点在圆上，求及的取值范围　　（答：、）；　　（2）求函数的值域　　（答：）；　　（3）求函数及的值域　　（答：、）　　注意：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在轴的两侧，而求两点距离之差时，则要使两定点在轴的同侧。6．判别式

7、法――对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：　　①型，可直接用不等式性质，如　　求的值域　　（答：）　　②型，先化简，再用均值不等式，如　　（1）求的值域　　（答：）；　　（2）求函数的值域　　（答：）　　③型，通常用判别式法；如　　已知函数的定义域为R，值域为[0，2]，求常数的值　　（答：）　　④型，可用判别式法或均值不等式法，如　　求的值域