数学百大经典例题-不等式证明

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1、www.tesoon.com天星教育网版权所有典型例题一例1若，证明（且）．分析1用作差法来证明．需分为和两种情况，去掉绝对值符号，然后比较法证明．解法1（1）当时，因为，所以．（2）当时，因为所以．综合（1）（2）知．分析2直接作差，然后用对数的性质来去绝对值符号．解法2作差比较法．因为，所以．www.tesoon.com天星教育网www.tesoon.com天星教育网版权所有说明：解法一用分类相当于增设了已知条件，便于在变形中脱去绝对值符号；解法二用对数性质（换底公式）也能达到同样的目的，且不必分而治之，其解法自然简捷、明快．典型例题二例2设，

2、求证：分析：发现作差后变形、判断符号较为困难．考虑到两边都是正数，可以作商，判断比值与1的大小关系，从而证明不等式．证明：∵，∴∴.∴又∵，∴.说明：本题考查不等式的证明方法——比较法(作商比较法).作商比较法证明不等式的步骤是：判断符号、作商、变形、判断与1的大小.典型例题三例3对于任意实数、，求证（当且仅当时取等号）分析这个题若使用比较法来证明，将会很麻烦，因为，所要证明的不等式中有，展开后很复杂。若使用综合法，从重要不等式：出发，再恰当地利用不等式的有关性质及“配方”的技巧可得到证明。证明：∵（当且仅当时取等号）两边同加，即：（1）又：∵（当

3、且仅当时取等号）两边同加www.tesoon.com天星教育网www.tesoon.com天星教育网版权所有∴∴（2）由（1）和（2）可得（当且仅当时取等号）．说明：此题参考用综合法证明不等式．综合法证明不等式主要是应用均值不等式来证明，要注意均值不等式的变形应用，一般式子中出现有平方和乘积形式后可以考虑用综合法来解．典型例题四例4已知、、，，求证分析显然这个题用比较法是不易证出的。若把通分，则会把不等式变得较复杂而不易得到证明．由于右边是一个常数，故可考虑把左边的式子变为具有“倒数”特征的形式，比如，再利用“均值定理”就有可能找到正确的证明途径，

4、这也常称为“凑倒数”的技巧．证明：∵∴∵，同理：，。∴说明：此题考查了变形应用综合法证明不等式．题目中用到了“凑倒数”，这种技巧在很多不等式证明中都可应用，但有时要首先对代数式进行适当变形，以期达到可以“凑倒数”的目的．典型例题五例５已知，求证：＞0.分析：此题直接入手不容易，考虑用分析法来证明，由于分析法的过程可以用综合法来书写，所以此题用两种方法来书写证明过程.www.tesoon.com天星教育网www.tesoon.com天星教育网版权所有证明一：(分析法书写过程)为了证明＞0只需要证明＞∵∴∴＞0∴＞成立∴＞0成立证明二：(综合法书写过程

5、)∵∴∴＞＞0∴＞成立∴＞0成立说明：学会分析法入手，综合法书写证明过程，但有时这两种方法经常混在一起应用，混合应用时，应用语言叙述清楚.典型例题六例6若，且，求证：分析这个不等式从形式上不易看出其规律性，与我们掌握的定理和重要的结论也没有什么直接的联系，所以可以采用分析的方法来寻找证明途径．但用“分析”法证不等式，要有严格的格式，即每一步推出的都是上一步的充分条件，直到推出的条件是明显成立的（已知条件或某些定理等）．证明：为要证只需证，即证，也就是，www.tesoon.com天星教育网www.tesoon.com天星教育网版权所有即证，即证，∵

6、，∴，故即有，又由可得成立，∴所求不等式成立．说明：此题考查了用分析法证明不等式．在题目中分析法和综合法是综合运用的，要注意在书写时，分析法的书写过程应该是：“欲证……需证……”，综合法的书写过程是：“因为（∵）……所以（∴）……”，即使在一个题目中是边分析边说明也应该注意不要弄混．典型例题七例7若，求证．分析：本题结论的反面比原结论更具体、更简、宜用反证法．证法一：假设，则，而，故．∴．从而，∴．∴．∴．这与假设矛盾，故．证法二：假设，则，故，即，即，这不可能．从而．证法三：假设，则．由，得，故．又，www.tesoon.com天星教育网www.

7、tesoon.com天星教育网版权所有∴．∴，即．这不可能，故．说明：本题三种方法均采用反证法，有的推至与已知矛盾，有的推至与已知事实矛盾．一般说来，结论中出现“至少”“至多”“唯一”等字句，或结论以否定语句出现，或结论肯定“过头”时，都可以考虑用反证法．典型例题八例8设、为正数，求证．分析：用综合法证明比较困难，可试用分析法．证明：要证，只需证，即证，化简得，．∵，∴．∴．∴原不等式成立．说明：1．本题证明易出现以下错误证法：，，然后分(1)；(2)；(3)且；(4)且来讨论，结果无效．2．用分析法证明数学问题，要求相邻两步的关系是，前一步是后一

8、步的必要条件，后一步是前一步的充分条件，当然相互为充要条件也可以．典型例题九例9已知，求证．分析：联想三角函数知识，进行三