数学百大经典例题-不等式性质

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1、www.tesoon.com天星教育网版权所有典型例题一例1比较与的大小，其中．解：，，，，∴．说明：由例1可以看出实数比较大小的依据是：①；②；③．典型例题二例2比较与的大小，其中解：，，，，，∴当时，；当时，说明：两个实数比较大小，通常用作差法来进行，其一般步骤是：第一步：作差；第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段；第三步：定号，贵州省是能确定是大于0，还是等于0，还是小于0．最后得结论．概括为“三步，—结论”，这里的“变形”一步最为关键．www.tesoon.com天星教育网www.teso

2、on.com天星教育网版权所有典型例题三例3，比较与（）的大小．分析：直接作差需要将与（）展开，过程复杂，式子冗长，可否考虑根据两个式子特点，予以变形，再作差．解：∵=（），，∴．则有时，（）恒成立．说明：有的确问题直接作差不容易判断其符号，这时可根据两式的特点考虑先变形，到比较易于判断符号时，再作差，予以比较，如此例就是先变形后，再作差．典型例题四例4设，比较与的大小．解：作差，1）当时，即，∴；2）当，即时，，∴；3）当但，即或时，，www.tesoon.com天星教育网www.tesoon.com天星教

3、育网版权所有∴．说明：如本题作差，变形，变形到最简形式时，由于式中含有字母，不能定号，必须对字母根据式子具体特点分类讨论才能定号．此时要注意分类合理恰当．典型例题五例5比较与的大小分析：两个数是幂的形式，比较大小一般采用作商法。解：说明：求商法比大小的变形要围绕与1比大小进行．典型例题六例6　设，且，比较：与的大小。分析：比较大小一般方法是求差法或求商法，利用不等式的性质进行变形，然后确定大小。解：当时，，当时，即，又，说明：求商法的基本步骤是：①求商，②变形，③与1比大小从而确定两个数的大小.典型例题七例7

4、实数满足条件：①；②；③www.tesoon.com天星教育网www.tesoon.com天星教育网版权所有，则有()A．　　　　B．C．　　　　D．（天津市2001年南开中学期末试题）分析：先由条件②③分析出与的关系，根据条件利用①用数轴数形结合比出大小．解：∵，∴与同侧∵，∴与异侧∵∴把标在数轴上，只有下面一种情况由此得出，∴此题选D．说明：比较大小时可以借助于数轴，利用推出的一些结论在数轴上标出它们的相对位置，这样容易看出几个数之间的大小关系，尤其是比较的个数较多时适用．典型例题八例8　已知①；②，求：

5、的取值范围．分析：此题是给代数式的字母的范围，求另外代数式的范围．分为两步来进行：(1)利用待定系数法将代数式用和表示．(2)利用不等式性质及题目条件确定的范围．解：设：由①+②×2得：：．说明：此题的一种典型错误做法，如下：，即：：www.tesoon.com天星教育网www.tesoon.com天星教育网版权所有此解法的错误原因是因为与是两个相互联系，相互制约的量，而不是各自独立的，当取到最大值或最小值时，不一定能取到最值，所以用以上方法可能扩大变量的范围．避免出错的方法是通过待定系数法“整体代入”，见解

6、题过程．典型例题九例9　判断下列各命题的真假，并说明理由．（1）若，则（2）若，则（3）若，则（4）若，则（5）若，则（6）若，则分析：利用不等式的性质来判断命题的真假．解：（1），是真命题．（2）可用赋值法：，有，是假命题．也可这样说明：，∵　，只能确定，但的符号无法确定，从而的符号确定不了，所以无法得到，实际上有：（3）与（2）类似，由，从而是假命题．www.tesoon.com天星教育网www.tesoon.com天星教育网版权所有（4）取特殊值：有，∴　是假命题．定理3的推论是同向不等式可相加，但同向

7、不等式相减不一定成立．只有异向不等式可相减，即（5），　∴是真命题．（6）定理4成立的条件为必须是正数．举反例：，则有说明：在利用不等式的性质解题时，一定要注意性质定理成立的条件．要说明一个命题是假命题可通过举反例．典型例题十例10　求证：分析：把已知的大小关系转化为差数的正负，再利用不等式的性质完成推理．证明：利用不等式的性质，得典型例题十一例11　若，则下面不等式中成立的一个是（　　　）（A）　　　　　（B）（C）　　　　　　　　（D）解：由不等式的性质知：（A）、（B）、（C）成立的条件都不充分，所以选

8、（D），其实（D）　正是异向不等式相减的结果．www.tesoon.com天星教育网www.tesoon.com天星教育网版权所有说明：本的解法都是不等式性质的基本应用，对于不等式的基本性质要逐条掌握准确，以便灵活应用．典型例题十二例12　若，则下面各式中恒成立的是（　　　）．（A）　　　　（B）（C）　　　　　（D）分析　本题考查是否能正确使用不等式的性质来进行变形，应看到，已知条件中含有两个内容