基于ADI和IIM的界面问题算法研究

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1、分类号UDC510博士学位论文密级基于ADI和IIM的界面问题算法研究ResearchonNumericalMethodsforInterfaceProblemsBasedonADIandIIM作者姓名：学科专业：学院(系、所)：指导教师：刘建康计算数学数学与统计学院郑洲顺教授中南大学2012年12月原创性声明本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共同工作的同志对本研究所作的

2、贡献均已在论文中作了明确的说明。作者签名：垂】塞邑叁．日期：丝年卫月4日学位论文版权使用授权书本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到《中国学位论文全文数据库》，并通过网络向社会公众提供信息服务。作者签名：亟j建鱼导师签名：日期：丝年旦月4目摘要界面问题是自然界中一种常见的现象，对界面问题的数值方法研究在工业、生物、军事等方面有着重要的理论意义

3、和实际应用价值，近些年一直受到学者们的广泛关注，也成为计算数学研究的前沿问题之一．首先，本文对界面问题数值方法的研究现状进行了综述．基于IIM方法，通过对传统的LOD差分格式在非正则点处的差分方程右端加上由跳跃条件确定的修正项，使得在非正则点处的局部截断误差为0(^)，而正则点处的局部截断误差仍为O(h2)，构造了二维和三维热传导界面问题的LOD．IIM差分格式，所得差分格式在时间和空间方向以无穷范数均二阶收敛，并用三个数值实验验证了格式的收敛阶和稳定性．其次，利用IIM方法的思想，通过对高阶紧致ADI差分格式在非正则点处的差分方程右端加上由跳跃条件确定的修正项，使得

4、在非正则点处的局部截断误差为O(h3)，而正则点处的局部截断误差仍为O(h4)，构造了二维热传导界面问题的高阶紧致ADI差分格式，所得的差分格式以无穷范数在时间和空间方向分别为二阶和四阶收敛且无条件稳定．基于固定界面的热传导问题的解关于时间的连续性，采用Richardson外推方法将时间方向的精度提高到四阶，从而得到二维热传导界面问题在时间和空间方向均四阶收敛的差分格式．基于所构造的差分格式，对两个分片光滑的数值算例进行求解，验证了格式的收敛阶和无条件稳定性．然后，采用Adams．Bashforth方法处理非线性对流项，通过对传统的ADI差分格式在非正则点处的差分方程

5、右端加上由跳跃条件确定的修正项，使得在非正则点的局部截断误差为0(^)，而正则点处的局部截断误差仍为0(允2)，构造了二维非线性对流扩散界面问题的ADI．IIM格式，所得格式在时间和空间方向以无穷范数均二阶收敛且无条件稳定．利用修正项关于时间的连续性，将当前时间层的修正项用前两个时间层上的修正项通过Adams．Bashforth方法逼近得到．对三个分片光滑的数值算例进行求解，验证了格式的收敛阶和该学位论文得到国家自然科学基金(50871423。51174236)和国家重点基础研究发展计划(973计划)(2006CB605207，201ICB606306)的支持和资助．

6、I摘要博士学位论文稳定性以及通过Adams．Bashfoth方法逼近得到的修正项的可靠性．最后，首次将Bernstein多项式用于椭圆界面问题数值方法的研究．在每个子区域上将方程的解表示为Bernstein多项式的线性组合，采用Galerkin方法或者配置方法计算Bemstein多项式的展开系数，得到一维椭圆界面问题和二维直线界面椭圆界面问题的高精度数值方法，数值实验表明该方法具有谱精度．对于二维曲线界面的椭圆界面问题，先通过一个非线性变换将其转化为直线界面问题并求解，再通过逆变换得到曲线界面问题的解．数值实验表明，该方法的逼近精度依赖于界面曲线的复杂程度．关键词：浸

7、入界面法，交替方向隐式方法，Richardson外推，Bernstein多项式，配置方法ⅡAbstractInterfaceproblemsareubiquitousinthenature．Theresearchonhumeri—calmethodsforinterfaceproblemshasgreattheoreticalsignificanceandactualapplicationvalueinaspectsofindustry,biologyandmilitary．Inrecentyears，authorshavepaidcloseatte