参数方程与普通方程的互化学案含解析新人教A版选修

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1、3．参数方程和普通方程的互化参数方程和普通方程的互化(1)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线类型．曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．　　　　　　　把曲线的普通方程化为参数方程　根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程．(1)＋＝1，x＝cosθ＋1.(θ为参数)(2)x2－y＋x－1＝0，x＝t＋1.(t为参数)　(1)将x＝cosθ＋1代入＋＝1，得y＝2＋sinθ.∴(θ为参数)

2、．这就是所求的参数方程．(2)将x＝t＋1代入x2－y＋x－1＝0，得y＝x2＋x－1＝(t＋1)2＋t＋1－1＝t2＋3t＋1，∴(t为参数)．这就是所求的参数方程．普通方程化为参数方程时，①选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价．②参数的选取不同，得到的参数方程是不同的．如本例(2)，若令x＝tanθ(θ为参数)，则参数方程为(θ为参数)．1．求xy＝1满足下列条件的参数方程：(1)x＝t(t≠0)；(2)x＝tanθ.解：(1)将x＝t代入xy＝1，得ty＝1，∵t≠0，∴y＝，∴(

3、t为参数，t≠0)．(2)将x＝tanθ代入xy＝1，得y＝.∴.5　　　　　　　　将参数方程化为普通方程　将下列参数方程化为普通方程：(1)(t为参数)(2)(θ为参数)．　(1)可采用代入法，由x＝解出t代入y表达式．(2)采用三角恒等变换求解．　(1)由x＝，得t＝.代入y＝化简，得y＝(x≠1)．(2)由得①2＋②2,得＋＝1.消去参数的方法一般有三种(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数；(2)利用三角恒等式消去参数；(3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数．将参数方

4、程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围．2．方程(t为参数)表示的曲线是(　　)A．一条直线B．两条射线C．一条线段D．抛物线的一部分解析：选B　t＞0时，x＝t＋≥2.当t＜0时，x＝t＋＝－≤－2.即曲线方程为y＝2(

5、x

6、≥2)，表示两条射线．3．(湖南高考)在平面直角坐标系中，曲线C：(t为参数)的普通方程为________．解析：由参数方程直接消去参数t，得x－y＝2－1，即x－y－1＝0.5答案：x－y－1＝0课时

7、跟踪检测(九)一、选择题1．将参数方程(θ为参数)化为普通方程为(　　)A．y＝x－2B．y＝x＋2C．y＝x－2(2≤x≤3)D．y＝x＋2(0≤y≤1)解析：选C　代入法，将方程化为y＝x－2，但x∈，y∈，故选C.2．参数方程(θ为参数)表示的曲线是(　　)A．直线B．圆C．线段D．射线解析：选C　x＝cos2θ∈，y＝sin2θ∈，∴x＋y＝1，(x∈)为线段．3．下列参数方程中，与方程y2＝x表示同一曲线的是(　　)A.(t为参数)B.(t为参数)C.(t为参数)D.(t为参数)解析：选D　A中y有限制y＝t2≥

8、0；B中sin2t和sint都表示在一定范围内；C中化简不是方程y2＝x，而是x2＝y且有限制条件；代入化简可知选D.4．曲线的参数方程是(t是参数，t≠0)，它的普通方程是(　　)A．(x－1)2(y－1)＝1B．y＝(x≠1)C．y＝－1(x≠1)D．y＝(x≠±1)解析：选B　由x＝1－，得＝1－x，由y＝1－t2，得t2＝1－y.所以(1－x)2·(1－y)＝2·t2＝1，进一步整理得到y＝(x≠1)．二、填空题5．参数方程(θ为参数)所表示的曲线的普通方程为________．解析：由于cos2θ＝1－2sin2θ

9、，故y＝1－2x2，即y＝－2x2＋1(－1≤x≤1)．答案：y＝－2x2＋1(－1≤x≤1)6．(湖南高考)在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：(s为参数)和直线l2：(t为参数)平行，则常数a的值为________．解析：由直线l1：(s为参数)，消去参数s得l1的普通方程为x－2y－1＝0，由直线l2：(t为参数)，消去参数t得l2的普通方程为ay－2x＋a＝0，因为l15与l2平行，所以斜率相等，即＝，≠，所以a＝4.答案：47．已知直线(t为参数)和圆x2＋y2＝16交于A，B两点，则AB的中点坐标为_____

10、___．解析：直线的普通方程为y＝x－4，代入圆的方程，得x2－6x＋8＝0，设A，B两点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝6，∴＝3，∴＝3－4＝－.∴A，B的中点坐标为(3，－)．答案：(3，－)三、解答题8．把参数方程(k为参数)化为普通方程，并说明它表示什么曲线．解：法一：若