X射线衍射的几何原理

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1、第三章X射线衍射的几何原理序言—关于本章的研究对象晶体点阵对X射线的衍射布拉格定律衍射矢量方程和厄尔瓦德图解本章导言利用X射线研究晶体结构中的各类问题，主要是通过X射线在晶体中产生的衍射现象。当一束X射线照射到晶体上时，首先被电子所散射，每个电子都是一个新的辐射波源，向空间辐射出与入射波同频率的电磁波。可以把晶体中每个原子都看作一个新的散射波源，它们各自向空间辐射与入射波同频率的电磁波。由于这些散射波之间的干涉作用，使得空间某些方向上的波始终保持相互加强，于是在这个方向上可以观测到衍射线，而另一些方向上的波则始终是互相抵消的，于是就没有衍射线产生。X射线在晶体中的衍射现象，实质上是大量的原

2、子散射波互相干涉的结果。晶体所产生的衍射花样都反映出晶体内部的原子分布规律。概括地讲，一个衍射花样的特征，可以认为由两个方面的内容组成：一方面是衍射线在空间的分布规律，（称之为衍射几何），衍射线的分布规律是晶胞的大小、形状和位向决定的。另一方面是衍射线束的强度,衍射线的强度则取决于原子的品种和它们在晶胞中的位置。X射线衍射理论所要解决的中心问题:在衍射现象与晶体结构之间建立起定性和定量的关系。3.1晶体点阵对X射线的衍射假定参加衍射的晶体为平行六面体，它的三个棱边为：N1a、N2b、N3c，N1、N2、N3分别为点阵基矢量a、b、c方向上的阵点数，参加衍射的阵点总数为N=N1N2N3。我们

3、的任务是求出散射体外某一点的相干散射振幅和强度。几个假设:1平行光入射2只考虑一次散射,略去多重散射3不考虑温度因子4略去折射效应5不考虑吸收首先从晶体点阵中任意取出两个阵点，求出它们散射波的光程差和相位差，然后将它们的振幅对所有参加衍射的阵点求和，从而得出参加衍射晶体的相干散射振幅和强度。S0S0MANOSS(任意两个阵点相干散射的示意图)如图3-1，设有两个任意的阵点O、A，取O为坐标原点，A点的位置矢量r=ma+nb+pc，即空间坐标为（m,n,p），S0和S分别为入射线和散射线的单位矢量，散射波之间的光程差为:图3-1任意两阵点的相干散射其位相差为：图3-1任意两阵点的相干散射衍射

4、强度为：式中c为比例系数，、为单一阵点的散射振幅和强度称为干涉函数。令:干涉函数具有如下一些性质：1）2）由主峰和副峰组成，两个相邻的主峰之间有个副峰；3）当时，主峰在范围内有值，主峰底宽为，主峰的积分面积近似等于对干涉函数而言，主峰的有值范围为：H、K、L为整数（包括零在内）主峰最大值的对应位置为：干涉函数在处有函数极大值，即在的方向上产生衍射线。中的三个因子是类似的。因此，决定晶体发出的衍射线方向的条件为：3.2劳厄方程左式称为劳厄方程，式中H、K、L称为衍射指数或干涉指数。1一维原子列原子列的衍射原子列衍射圆锥示意图2二维原子点阵3三维原子点阵的衍射3.3布拉格定律布拉格方程的导出布

5、拉格方程的讨论布拉格方程的导出：根据图示，干涉加强的条件是：式中：n为整数，称为反射级数；为入射线或反射线与反射面的夹角，称为掠射角，由于它等于入射线与衍射线夹角的一半，故又称为半衍射角，把2称为衍射角。反射面法线图示布拉格实验布拉格方程的讨论选择反射产生衍射的极限条件干涉面和干涉指数衍射花样和晶体结构的关系Laue方程与布拉格方程的等效性选择反射X射线在晶体中的衍射实质上是晶体中各原子散射波之间的干涉结果,只是由于衍射线的方向恰好相当于原子面对入射线的反射，所以借用镜面反射规律来描述衍射几何。但是X射线的原子面反射和可见光的镜面反射不同。一束可见光以任意角度投射到镜面上都可以产

6、生反射，而原子面对X射线的反射并不是任意的，只有当、、d三者之间满足布拉格方程时才能发生反射，所以把X射线这种反射称为选择反射。二者的反射效率也不相同.产生衍射的极限条件在布拉格方程中，sin不能大于1，因此：对衍射而言，n的最小值为1，所以在任何可观测的衍射角下，产生衍射的条件为<2d，这也就是说，能够被晶体衍射的电磁波的波长必须小于参加反射的晶面中最大面间距的二倍，否则不能产生衍射现象。d>/2,表明在波长确定的情况下,能发生衍射的是那些面间距大于波长一半的晶面,波长越短，能出现的衍射线数目越多干涉面和干涉指数我们将布拉格方程中的n隐含在d中得到简化的布拉格方程：把（hkl）

7、晶面的n级反射看成为与（hkl）晶面平行、面间距为(nh,nk,nl)的晶面的一级反射。面间距为dHKL的晶面并不一定是晶体中的原子面，而是为了简化布拉格方程所引入的反射面，我们把这样的反射面称为干涉面。干涉面的面指数称为干涉指数。衍射花样和晶体结构的关系从布拉格方程可以看出，在波长一定的情况下，衍射线的方向是晶面间距d的函数。如果将各晶系的d值代入布拉格方程，可得：由此可见，布拉格方程可以反映出晶体结构中晶胞大小及形状